Enunciado

Sejam as retas

r : x = 2 + 3 t y = 4 + 5 t z = m t                                                       e                                         s : y = 2 x + 1 z = x 2 - 3 2

a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes;

b) determinar, para o valor de m , o ponto de interseção de r e s .

Passo 1

Neste problema, temos dois desafios pela frente. Sejam as retas:

r : x = 2 + 3 t y = 4 + 5 t z = m t                                                       e                                         s : y = 2 x + 1 z = x 2 - 3 2

Sem enrolação, vamos fazer um resumão do que iremos fazer para matar essa questão? Partiu!

No item a) precisamos fazer manipulações algébricas e encontrar os valores de todas as variáveis, como a condição é que r e s precisam ser concorrentes podemos igualar as diferentes equações das diferentes retas, beleza? Já no item b), com posse dos valores das variáveis calculadas em a), fica fácil acharmos o ponto de interseção das retas.

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Primeiro, vamos isolar t na equação x = 2 + 3 t :

- 3 t = 2 - x   . - 1

3 t = x - 2

t = x - 2 3

Ao substituir t = x - 2 3 em y = 4 + 5 t , temos:

y = 4 + 5 x - 2 3

y = 4 + 5 x - 10 3

y = 12 + 5 x - 10 3

y = 5 x + 2 3

Ao substituirmos y = 5 x + 2 3 em y = 2 x + 1 , temos:

5 x + 2 3 = 2 x + 1

5 x + 2 = 6 x + 3

x = - 1

Passo 3

Se já sabemos quem é x , fica fácil acharmos y e z .

Para y , basta substituir x = - 1 em y = 2 x + 1 :

y = 2 - 1 + 1

y = - 1

Já para z , basta substituir x = - 1 em z = x 2 - 3 2 :

z = - 1 2 - 3 2

z = - 2

Passo 4

Pronto, já temos os valores de x ,   y e z , agora só falta acharmos o valor de t , vamos substituir x = - 1 em x = 2 + 3 t :

- 1 = 2 + 3 t

3 t = - 3

t = - 1

Notem que poderíamos obter por substituir y = - 1 em y = 4 + 5 t , que também acharíamos t = - 1 . 😉

Passo 5

Por fim, como sabemos que t = - 1 e z = - 2 , substituindo em z = m t , temos:

- 2 = m - 1

m = 2

Passo 6

b) determinar, para o valor de m , o ponto de interseção de r e s .

Pelo desenvolvimento no item a), já achamos os valores de x , y e z , portanto o ponto de interseção de r e s é P ( - 1 , - 1 , - 2 ) .

Resposta

a) m = 2 .

b) P ( - 1 , - 1 , - 2 ) .

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