Enunciado

Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W = U ⊕ V . Consideremos o espaço vetorial U × V cuja adição é u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 e cuja multiplicação por escalares é dada por α u , v = α u , α v . Mostrar que é um isomorfismo de U × V em W a aplicação assim definida: F u , v = u + v

Passo 1

Vamos lá! A ideia do que temos que fazer é simples. Provar que F é um isomorfismo consiste em checar o núcleo de F e ver que ele tem dimensão zero.

Mas, como tudo na vida, temos algum problema. Neste caso, temos dois problemas: resolver a questão e entender que diabos o enunciado diz.

Eu diria que entender o enunciado consegue ser mais difícil ainda! Então, vamos começar por isto.

O nosso espaço W é obtido pela soma direta de U com V (interseção de U e V é o conjunto vazio). Assim, seja w um vetor de W , ele será expresso por w = u , v , sendo u ∈ U e v ∈ V .

E quando aplicamos a transformação a w , obtemos:

F w = F u , v = u + v

Uma soma dos vetores u e v .

Passo 2

Agora, vamos verificar que F é um automorfismo.

O núcleo de um operador é o conjunto de vetores x tais que T x = 0 . Então, temos que descobrir qual o conjunto de vetores u e v tais que:

F u , v = 0

Muita calma nessa hora! Do jeito que a relação acima e como desenvolvemos no Passo 1, dá uma vontade de fazer a seguinte conta:

F u , v = u + v = 0

u = - v

E assim veríamos que o núcleo não tem dimensão 0. Só que temos um pequeno probleminha com essas contas... Por definição, u ∈ U e v ∈ V . Os subespaços U e V são distintos (não tem interseção). Portanto, como teríamos u = - v ?

A única forma disto ocorrer é se u = v = 0 (o que está correto, pois o vetor nulo pertence a todos os espaços vetoriais).

Assim, como u = v = 0 , o núcleo de F é composto apenas pelo vetor nulo. Assim, ele tem dimensão 0.

Como o núcleo tem dimensão 0, podemos afirmar que F é uma transformação injetora. Consequentemente, F é um automorfismo.

Concluímos então a questão com esta prova!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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