Enunciado

Prove que um isomorfismos de espaços vetoriais com produto interno preserva ângulos e distâncias, ou seja, mostre que o ângulo entre u e v em V é igual ao ângulo entre T u e T v em W e que u - v V = T u - T v W .

Passo 1

Se V e W são espaços com produto interno, dizemos que um isomorfismos T : V → W é um isomorfismo de espaços com produto interno se

T ( u ) , T ( v ) = u , v

Passo 2

E sabemos que pra calcular o ângulo entre dois vetores usamos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que

cos ⁡ θ = u ∙ v u v ⇒ cos ⁡ θ = u , v u , u v , v

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u , v u , u v , v = cos ⁡ θ = T ( u ) , T ( v ) T ( u ) , T ( u ) T ( v ) , T ( v )

Passo 3

Temos por definição de módulo que

u - v V = u - v , u - v

u - v V = u , u - u , v - v , u + v , v = u , u - 2 u , v + v , v

T u - T v W = T ( u ) - T ( v ) , T ( u ) - T ( v )

T u - T v W = T u , T ( u ) - T u , T ( v ) - T v , T ( u ) + T v , T ( v )

T u - T v W = T u , T ( u ) - 2 T u , T ( v ) + T v , T ( v )

Como T ( u ) , T ( v ) = u , v , vamos ter que

u - v V = u , u - 2 u , v + v , v = T u - T v W

Portanto mostramos que um isomorfismo de espaços com produto interno preserva ângulos, ou seja, dados u e v em V , o ângulo entre eles é igual ao ângulo entre T ( u ) e T ( v ) . E além disso, mostramos também que u - v V = T u - T v W .

Resposta

Demonstração

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