Lista de Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria

Seja W = p ∈ P 3 p 0 = 0 e D : W → P 3 definida por D p = p ' . Mostre que D é injetiva.

Ver solução completa

Seja T : R n ⟶ R m transformação linear injetivas.

Prove que se v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores linearmente independentes, então os vetores T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são também linearmente independentes.

Ver solução completa

Seja T : V → W uma T L .

i T é sobrejetiva se, e somente se:

a dim ⁡ V = d i m ⁡ ( W )

b dim ⁡ N u c T = d i m ⁡ ( V )

c   dim ⁡ N u c T = 0

d   dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( W )

e   dim ⁡ I m T = 0

i i T é injetiva se, e somente se:

a dim ⁡ V = d i m ⁡ ( W )

b dim ⁡ N u c T = d i m ⁡ ( V )

c   dim ⁡ N u c T = 0

d   dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( W )

e   dim ⁡ I m T = 0

Ver solução completa

Dada a transformação abaixo:

T x , y = x + y , x - y , 2 x

a Ache uma base para a imagem de T e a sua dimensão;

b Verifique se T é bijetiva.

Ver solução completa

À questão “Dado v = x 0 y 0 z 0 ∈ M 3 × 1 fixo, a transformação T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v é linear?”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

( a ) Embora T seja realmente uma transformação linear, a justificativa do Andrezinho não está correta. Qual foi o erro que ele cometeu?

( b ) Mostre que T é linear.

( c ) Existe algum v tal que T seja injetiva?

( d ) Determine uma base do núcleo e uma base da imagem de T quando v = 1 0 - 1

Ver solução completa

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = x - 2 y + z , y - x , z - x

(a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injetora?

Ver solução completa

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = x - 2 y + z , y - x , z - x

(b) Determine uma base para a imagem de T. T é sobrejetora?

Ver solução completa

Sejam T : R n ⟶ R m e S   : R m ⟶ R k duas transformações lineares injetivas.

( c ) Prove que se v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores linearmente independentes, então os vetores T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são também linearmente independentes.

Ver solução completa

Classifique as afirmativas abaixo onde A é uma matriz tal que D i m N A < D i m ( N A T ) :

I A não pode ser injetiva.

I I A não pode ser sobrejetiva.

a) Ambas são falsas.

b) I é verdadeira e I I é falsa.

c) Ambas são verdadeiras.

d) I é falsa e I I é verdadeira.

e) Não sei.

Ver solução completa

Considere uma transformação linear T : R n → R m , um conjunto β = u → 1 ,   u → 2 , … , u → p ⊂ R n e sua imagem T β = T u → 1 ,   T u → 2 , … , T u → p ⊂ R m . Considere as afirmativas:

  1. Se β é linearmente independente e   T é injetiva então T β também é linearmente independente.
  2. Se β é gerador de R n e T é injetiva então T β é gerador de R m .
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é falsa.

Ver solução completa

Seja S o sistema linear A x → = v → .

Considere as afirmativas:

  1. Se A é injetiva então S possui solução e a solução é única
  2. Se A é sobrejetiva então S possui solução e a solução é única.
  1. I é falsa e II é verdadeira
  2. I é verdadeira e II é falsa
  3. I é falsa e II é falsa
  4. I é verdadeira e II é verdadeira

Ver solução completa

A única transformação linear abaixo que NÃO é INJETIVA é:

  1. Uma projeção sobre a reta 1,2   em R 2 .
  2. Uma rotação π / 3 radianos em torno da reta - 4 ,   3 ,   - 3   em R 3 .
  3. Um cisalhamento em R 2 .
  4. A reflexão através da reta - 2 ,   - 1   em R 2 .

Ver solução completa

Seja T : P 2 R → R 3 a transformação linear dada por:

T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 2 , 2 a 1   , a 1 - a 2

E sejam α = 1 + x , x 2 , x - x 2 e β = 1,0 , 1 , 2,0 , - 1 , 0,1 , 0 bases para P 2 R e R 3 respectivamente.

a Prove que T é isomorfismo.

Ver solução completa

Responda:

Seja T : R 3 ⟶ R 3 linear tal que T 1,1 , 0 = 1,2 , - 1 , T 0,0 , 1 = 2,1 , 1 e T - 1,0 , 1 = 1 , - 1,2 . Determine T x , y , z . Determine uma base β I m T e diga se T   é sobrejetora.

Ver solução completa

A transformação associada à matriz A = 1 2 4 5 7 8

a)   é bijetiva

b)   não é nem sobrejetiva, nem injetiva

c) é sobrejetiva

d)   é injetiva

Ver solução completa

Seja   T :   M 2 × 2   R → P 2 R a transformação linear dada por T a b c d = a + b + c x + c + 2 d x 2 , α = 1 0 1 0 , 1 0 0 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 0   e β = { x ,   1 - x 2 , 2 } base de P 2 ( R ) .

c) Determine uma base para o k e r T . T   é sobrejetora?

Ver solução completa

Considere o produto C = A B .

(I) Se C é injetiva, então A é injetiva.

(II) Se C = 0 , então I m ( B ) ⊂ N ( A )

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(d) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Ver solução completa

Seja T : M 2,2 → R 4 dada por

T a b c d = a + b , 2 c , b + c - d , a - b + 2 d

  1. Determine uma base para ker ⁡ T
  2. Determine uma base para I m T
  3. T é injetora? Justifique
  4. T é sobrejetora? Justifique

Ver solução completa

Seja T uma transformação linear de R n em R n . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   Se T é inversível, então T é injetiva, mas não é sobrejetiva.

b   Se T é sobrejetiva, então T é invertível, mas não é injetiva.

c   Se T é injetiva, então T é inversível, mas não é sobrejetiva.

d   Se T é invertível, então T é injetiva e sobrejetiva.

Ver solução completa

Seja P 2 o espaço dos polinômios da forma p x = a x 2 + b x + c e seja D : P 2 → P 2 a transformação derivada, D p = p ' . Defina T = D + I , onde I denota a transformação identidade em P 2 .

  1. T é injetiva.
  2. T é sobrejetiva.

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) I é falsa e I I é verdadeira

( c ) I é falsa e I I é falsa

( d ) I é verdadeira e I I é verdadeira

Ver solução completa

Seja P 3 o espaço dos polinômios

p = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ,   a 0 , a 1 ,   a 2 , a 3 ∈ R }

Qual função abaixo NÃO é uma função injetiva de P 3 em P 3 ?

( a ) F p = p + x

( b ) F p = p + x 2

( c ) F p = d p d x

( d ) F p = 2 p

Ver solução completa