Enunciado

9 Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U+V. Todo vetor w c W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v. Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que:

Passo 1

Vamos tomar um vetor qualquer w :

w = u + v

Onde u ∈ U e v ∈ V . Lembrando que essa é a única forma de escrever o vetor w , com um termo pertencente a U e um termo pertencente a V .

Calculando a projeção P 1 w . Sabemos que a projeção 1 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço U , então:

P 1 w = u

E calculando a projeção P 2 w . Sabemos que a projeção 2 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço V , então:

P 2 w = v

Quando somamos esses dois vetores obtemos:

P 1 w + P 2 w = u + v

Ou seja

P 1 w + P 2 w = I w

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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