Enunciado

Sejam J : P 1 → R a transformação de integração J p → = ∫ - 1 1 p x d x . Descreva o núcleo de J.

Passo 1

A transformação linear proposta pela questão é a integral de um polinômio que resulta em uma constante que pertence aos reais.

Mas nós estamos interessados no núcleo, ou seja, o que nos interessa é o conjunto de vetores que fazem com que o resultado da transformação seja igual a zero.

Então vamos pegar um polinômio qualquer:

p x = a n x n + … + a 0

Vamos calcular a transformação linear:

J p → = ∫ - 1 1 p x d x

Da teoria do Cálculo Integral, podemos lembrar que

p x   é   f u n ç ã o   í m p a r ∫ - 1 1 p x d x = 0 p x   é   f u n ç ã o   p a r ∫ - 1 1 p x d x = 2 ∫ 0 1 p x d x

Passo 2

Por um momento, vamos olhar especificamente para o caso de p ( x ) ser uma função par:

J p → = 2 ∫ 0 1 p x d x

Esta integral será zero apenas na situação em que p x = 0 . Então, o espaço vetorial { 0 } é parte do núcleo de J

0 ∈ N u c ( J )

Resposta

O núcleo de J contém { 0 }

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que A não é anti-hermitiana, qualquer que seja a escolha dos sinais × . aA = 0 i 2 - 3 i - i 0 × 2 + 3 i × × bA = 1 × 3 - 5 i × 2 i - i - 3 + 5 i i 3 i
Mostre que A é unitária e encontre A - 1 . A = 3 + i 2 2 1 - i 3 2 2 1 + i 3 2 2 i - 3 2 2
Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P . A = 6 2 + 2 i 2 - 2 i 4
Mostre que A não é anti-hermitiana, qualquer que seja a escolha dos sinais × . aA = i × 2 - 3 i × 0 1 + i 2 + 3 i - 1 - i × bA = 0 - i 4 + 7 i × 0 × - 4 - 7 i × 1
Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P . A = 2 i 2 - i 2 - i 2 2 0 i 2 0 2