Enunciado

Sea T : R 3 → R 3 a multiplicação por:

1 3 4 3 4 7 - 2 2 0

  1. Mostre que o núcleo de T é uma reta pela origem e encontre equações paramétricas dessa reta
  2. Mostre que a imagem de T é um plano pela origem e encontre uma equação desse plano.

Passo 1

Item A)

O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que T transforma em zero:

T x N → = 0 →

1 3 4 3 4 7 - 2 2 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos aplicar eliminação gaussiana. Vamos pegar a primeirla linha e subtraí-la três vezes na segunda linha; e pegar a primeira linha e somar duas vezes na terceira linha:

1 3 4 0 - 5 - 5 0 8 8 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A segunda linha e a terceira são ultipos escalares entre si. Vamos eliminar a terceira linha e dividir a segunda por - 5 :

1 3 4 0 1 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos pegar a segunda linha e subtrair três vezes na primeira linha:

1 0 1 0 1 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Logo:

x 1 + x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0

Se chamarmos x 3 = s ,   em que s é qualque número que pertença aos reais

x 1 = - s x 2 = - s x 3 = s

Então, a base do núcleo de T é:

N u c T = - 1 - 1 1 s                   ∀   s ∈ R

Vamos considerar o caso em que s = 0 :

N u c T = 0 0 0

Isso demonstra que o núcleo de T passa pela origem.

Passo 2

O conjunto imagem de T são todos os vetores que podem ser formados pela transformação linear T .

Então, vamos considerar a matriz reduzida:

1 0 1 0 1 1 0 0 0

Todos os vetores que podem ser formados pela transformação T serão cobinações lineares das linhas desta matriz. Então podemos dizer que as linhas dessa matriz formam a base do conjunto imagem de T :

I m T = 1 0 1     e     1 1 0

Com esses dois vetores podemos definir um plano que passa pela origem pelo Teorema 3.4.2:

x → = t ⋅ 1,0 , 1 + s ( 1,1 , 0 )

Resposta

  1. N u c T = 0 0 0 Isso demonstra que o núcleo de T passa pela origem.
  2. x → = t ⋅ 1,0 , 1 + s ( 1,1 , 0 )
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