Enunciado

Sejam V = C [ a , b ] o espaço vetorial das funções contínuas em [ a , b ] e T : V → V a transformação definida por

T f = 5 f x + 3 ∫ a x f t d t

Será T um operador linear?

Passo 1

Para que um operador seja linear, ele deve satisfazer as duas a homogeneidade e a aditividade:

H o m o g e n e i d a d e T k ⋅ f = k ⋅ T ( f ) A d i t i v i d a d e T f + g = T f + T ( g )

Passo 2

Vamos garantir a homogeneidade:

T k f = 5 k f x + 3 ∫ a x k f t d t

Como sabemos, em uma integral, podemos colocar as contantes para fora. Então vamos reorganizar a expressão:

T k f = k ⋅ 5 f x + k ⋅ 3 ∫ a x f t d t

T k f = k 5 f x + 3 ∫ a x f t d t

Logo:

T k f = k ⋅ T ( f )

E isso demonstra a homogeneidade.

Passo 3

Vamos garantir a aditividade

T f + g = 5 f x + g x + 3 ∫ a x f t + g t d t

Vamos aplicar a propriedade distributiva, e separar a integral:

T f + g = 5 f x + 5 g x + 3 ∫ a x f ( t ) d t + 3 ∫ a x g ( t ) d t

T f + g = 5 f x + 3 ∫ a x f ( t ) d t + 5 g x + 3 ∫ a x g ( t ) d t

Logo:

T f + g = T ( f ) + T ( g )

E isso demonstra a aditividade.

Resposta

T é um operador linear

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