Enunciado

Sejam u um vetor no espaço com produto interno V e { v 1 ,   v 2 , … , v n } uma base ortogonal de V . Mostre que se α i for o ângulo de entre u e v i , então

cos 2 ⁡ α 1 + cos 2 ⁡ α 2 + … + cos 2 ⁡ α n = 1

Passo 1

Olá, cê tá bem?

Vamos aplicar o conceito de combinação linear nessa questão pra desenrolar, e algumas manipulações pra chegar no formato desejado, beleza?

Passo 2

O vetor u pode ser expresso como combinação linear.

u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a n v n

Onde a i = u , v i for i = 1 , … , n

Então temos:

cos 2 ⁡ α i = u , v i u v i 2

Com v i = 1 , fica:

cos 2 ⁡ α i = a i u 2

cos 2 ⁡ α i = a i 2 a i 2 + … + a 2 n

Então vai ficar:

cos 2 ⁡ α 1 + cos 2 ⁡ α 2 + … + cos 2 ⁡ α n = a i 2 + … + a n 2 a i 2 + … + a n 2 = 1

Vamos ficando por aqui, até a próxima! . ( ͡° ͜ʖ ͡° )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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