Enunciado

Prove: se u ,   v e u ,   v 2 forem dois produtos internos num espaço vetorial V , então a quantidade u ,   v = u ,   v 1 + u ,   v 2 também é um produto interno.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Nessa questão a nossa missão é provar uma propriedade fundamental do produto interno: a soma. Bora lá. ( ͡° ͜ʖ ͡° )

Passo 2

Vamos representar o segundo vetor como w , ao invés de u ,   v 2 para simplificar o entendimento. Vamos fazer o produto interno entre eles:

u + v , w = u + v , w 1 + u + v , w 2

= u , w 1 + v , w 1 + u , w 2 + v , w 2

Reorganizando os termos:

u + v , w = u , w 1 + u , w 2 + v , w 1 + v , w 2

Agora podemos somar os termos iguais, e vai ficar:

u + v , w = u , w + v , w

Lembrando que w é u ,   v 2 , vamos substituir:

u + u , v = u + u , v 1 + u + u , v 2

= u , u 1 + u , v 1 + u , u 2 + u , v 2

= u , u 1 + u , u 2 + u , v 1 + u , v 2

= u , u + u , v

= u + u , v

Ainda dá pra continuar.

Resolvendo esse produto:

u + u , v = u + u , v 1 + u + u , v 2

= u , v 1 + u , v 2 + u , v 1 + u , v 2

= u , v 1 + u , v 2

= u , v

Agora sim... The end.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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