Enunciado

Sejam os vetores u = ( 2 ,   - 3 ,   2 ) e v = ( - 1 ,   2 ,   4 ) em R 3 .

  1. Escrever o vetor w = ( 7 ,   - 11 ,   2 ) como combinação linear de u e v .
  2. Para que valor de k o vetor ( - 8 ,   14 ,   k ) é combinação linear de u e v ?
  3. Determinar uma condição entre a , b e c para que o vetor ( a ,   b ,   c ) seja uma combinação linear de u e v .

Passo 1

  1. Pra escrever o vetor como combinação de outros, a gente resolve essa equação aqui:
  2. a u + b v = w

    a 2 ,   - 3 ,   2 + b - 1 ,   2 ,   4 = 7 ,   - 11 ,   2

    2 a - b ,   - 3 a + 2 b ,   2 a + 4 b = 7 ,   - 11 ,   2

    O nosso sistema fica assim:

    2 a - b = 7 - 3 a + 2 b = - 11 2 a + 4 b = 2

    Subtraindo a primeira da última:

    4 b - - b = 2 - 7

    5 b = - 5

    b = - 1

    Substituindo na primeira:

    2 a - - 1 = 7

    a = 3

    Agora é só conferir se esse resultado bate com a segunda equação!

    - 3 3 + 2 - 1 = - 11

    Deu bom! Então podemos escrever:

    w = 3 u - v

    Passo 2

  3. Mesma coisa que na anterior, ó:
  4. a u + b v = ( - 8 ,   14 ,   k )

    a 2 ,   - 3 ,   2 + b - 1 ,   2 ,   4 = - 8 ,   14 ,   k

    2 a - b ,   - 3 a + 2 b ,   2 a + 4 b = - 8 ,   14 ,   k

    Aí o nosso sisteminha vai ficar:

    2 a - b = - 8 - 3 a + 2 b = 14 2 a + 4 b = k

    Vamos somar a segunda com o dobro da primeira:

    2 2 a - b + - 3 a + 2 b = 2 - 8 + 14

    4 a - 2 b - 3 a + 2 b = - 2

    a = - 2

    Substituindo na primeira:

    2 - 2 - b = - 8

    b = 4

    Substituindo na ultima:

    2 - 2 + 4 4 = k

    k = 12

    Passo 3

  5. Mais uma vez, bora lá:

m u + n v = a , b , c

m 2 ,   - 3 ,   2 + n - 1 ,   2 ,   4 = a ,   b ,   c

2 m - n = a - 3 m + 2 n = b 2 m + 4 n = c

Subtraindo a primeira da ultima:

5 n = c - a

n = c - a 5

Substituindo na primeira:

2 m - c - a 5 = a

2 m = 4 a + c 5

m = 4 a + c 10

Substituindo na segunda chegamos na relação que queremos:

- 3 4 a + c 10 + 2 c - a 5 = b

- 12 a - 3 c + 4 c - 4 a = 10 b

- 16 a + c = 10 b

16 a + 10 b - c = 0

Resposta

  1. w = 3 u - v
  2. k = 12
  3. 16 a + 10 b - c = 0
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