Enunciado

Sejam V e W vetores de um espaço com produto interno V. Prove as identidades polares:

(a) < V . W >   =   1 4 | | V + W | | 2 - | | V - W | | 2 , se o conjunto de escalares é o conjunto dos números reais.

(b) < V . W >   =   1 4 | | V + W | | 2 - | | V - W | | 2 + i | | V + i W | | 2 - i | | V - i W | | 2 , se o conjunto de escalares é o conjunto dos números complexos.

Passo 1

Fala, galera! Essa questão parece um pouco complicada, não é mesmo? Mas não se preocupa que nós vamos vencer essa juntos. Vamos seguir a sugestão do livro e calcular

| | V + W | | 2 =   < V + W , V + W >   =   < V , V >   +   < V , W >   +   < W , V >   +   < W , W >

⇒ | | V + W | | 2 =   | | V | | 2   +   2 < V , W >   +   | | W | | 2

Além disso,

| | V - W | | 2 =   < V - W , V - W >   =   | | V | | 2   -   2 < V , W >   +   | | W | | 2 ,

se os vetores forem reais.

Se os vetores forem complexos:

| | V + i W | | 2 =   < V + i W , V + i W >   =   < V , V > + < V , i W > + < i W , V > -   i 2 < W , W >

⇒ | | V + W | | 2 =   | | V | | 2   - i < V , W > + i < V , W > ̄ +   | | W | | 2

| | V - i W | | 2 =   < V - i W , V - i W >   =   | | V | | 2   + i < V , W > - i < V , W > ̄ +   | | W | | 2

Agora, podemos usar esses resultados em cada uma das expressões que a gente tem que provar.

Passo 2

(a) Na primeira expressão, temos

1 4 | | V + W | | 2 - | | V - W | | 2 = 1 4   | | V | | 2 + 2 < V , W >   + | | W | | 2 - | | V | | 2 + 2 < V , W >   - | | W | | 2

1 4 | | V + W | | 2 - | | V - W | | 2 = 1 4     4 < V , W >   =   < V , W >

Passo 3

(b)Na segunda expressão, precisamos mostrar que

  1 4 | | V + W | | 2 - | | V - W | | 2 + i | | V + i W | | 2 - i | | V - i W | | 2

= 1 4 | | V | | 2 +   < V , W >   + < V , W > ̄ + | | W | | 2 - | | V | | 2 +   < V , W >   + < V , W > ̄ - | | W | | 2

+ i 4   | | V | | 2 - i < V , W >   + i < V , W > ̄ +   | | W | | 2 - | | V | | 2 - i < V , W >   + i < V , W > ̄ - | | W | | 2

= 1 4   2 < V , W >   + 2 < V , W > ̄ + i 4 - 2 i < V , W >   + 2 i < V , W > ̄

= 1 4   4 < V , W >   =   < V , W >

Ufa! Essa foi longa, mas conseguimos!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja R :R ²→R ² ² ² uma rotação em torno da origem. Use as equações que dão as coordenadas de R v para mostrar que R u ,R v = u ,v e | R v |=| v | para quaisqueru ,v∈R ² . ²
Use a fórmula z =v , u u , u u que dá a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor não nulo u, para obter de outro modo as equações deduzidas no Exemplo 23.4.
Prove a lei do paralelogramo para vetores V e W de um espaço com produto interno V : | | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 = 2 ( | | V | | 2 + | | W | | 2 ) (Sugestão: desenvolva o primeiro membro da igua
Mostre que se V é ortogonal a W 1 ,. . ., W k então V é ortogonal a qualquer combinação linear de W 1 ,. . ., W k .
Mostre que o conjunto de todos os vetores de V (espaço com produto interno) ortogonais a um dado vetor V , { X ∈ V|X , V = 0 } é um subespaço de V .