Enunciado

Prove a lei do paralelogramo para vetores V e W de um espaço com produto interno V :

| | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 = 2 ( | | V | | 2 + | | W | | 2 )

(Sugestão: desenvolva o primeiro membro da igualdade acima observando que | | V + W | | 2 = < V + W , V + W > e | | V - W | | 2 = < V - W , V - W > .)

Passo 1

E aí, gente! Nessa questãozinha, vamos seguir exatamente a sugestão do livro e calcular:

| | V + W | | 2 =   < V + W , V + W >   =   < V , V >   +   < V , W >   +   < W , V >   +   < W , W >

⇒ | | V + W | | 2 =   | | V | | 2   +   2 < V , W >   +   | | W | | 2

e

| | V - W | | 2 =   < V - W , V - W >   =   | | V | | 2   -   2 < V , W >   +   | | W | | 2

Passo 2

Prontinho, agora vamos substituir esses resultados em

| | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 = | | V | | 2 + 2 < V , W >   + | | W | | 2 + | | V | | 2 - 2 < V , W >   + | | W | | 2

| | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 =   | | V | | 2 + | | W | | 2 + | | V | | 2 + | | W | | 2 = 2 ( | | V | | 2 + | | W | | 2 )

É basicamente isso e chegamos ao resultado. O que você achou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o E x e r c í c i o1 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 2 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2 .
Use os produtos internos do E x e r c í c i o18 í para encontrar d u , v com u = - 1,2 e v = 2,5 .
Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o7 . Encontre d p , q com p = 3 - x + x 2 ,q = 2 + 5 x 2
Em cada parte, use o produto interno: f , g = ∫ 0 1 f x g x d x Em C 0,1 para calcular f , g . f = cos ⁡ 2 π x , g = sen ⁡ 2 π x f = x , g = e x f = tg ⁡ π 4 x ,g = 1
Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 1,1 , v = 3,2 , w = 0 , - 1 e k = 3 . Calcule as expressões dadas. u , v k v , w u + v , w | v | d u , v u - k v