Lista de Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

Mostre que se T é positiva definida e u , v ∈ R n são vetores não nulos tais que u ,   T v = 0 , então { u , v } é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de { u , v } ser linearmente independente).

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Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:

a   u ⊥ v implica u + v 2 = u 2 + v 2

b   u + v ⊥ u - v implica u = v

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Sejam v 1 , v 2 , … , v n vetores ortogonais dois a dois, isto é, v i v j = 0 se i ≠ j . Prove que

v 1 + … + v n 2 = v 1 2 + … + v n 2

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Considere o espaço vetorial R 3 munido de um produto interno < . , . > com respeito ao qual:

( 1 ,   0 ,   1 ) 2 = ( 0 ,   1 ,   1 ) 2 = ( 0 ,   1 ,   0 ) 2 = 1

1 ,   0 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   1 ) = 1 ,   0 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) = 0 ,   1 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) = 0

Temos que 1 ,   2 ,   3 ,   ( 1 ,   2 ,   3 ) é igual a:

a) 6

b) 35

c) 14

d) 1

e) 5

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Sejam u e v vetores de um espaço euclidiano tais que v = 1 , u = 1 e u - v = 2 . Determinar ⟨ u ,   v ⟩ .

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Num espaço vetorial euclidiano, provar que u = v ⇔ u + v ,   u - v = 0 .

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Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

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Seja u 1 , … , u k ⊂ R n um conjunto ortogonal e u = a 1 u 1 + … + a k u k . Mostre que

a j = u , u j u j 2

Conclua que se { u 1 , … , u k } é um conjunto ortonormal, então a j = 〈 u , u j 〉 para j = 1 , … k .

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Seja R 2 espaço vetorial real com um certo produto interno < , > dado, tal que α = 1 ,   2 , 2 ,   3 é uma base ortonormal com relação a este < , > .

  1. Seja v = 1 ,   0 e w = 0 ,   1 . Calcule < v , w > .
  2. Determine a expressão deste produto interno, < ( x 1 , y 1   ) , ( x 2 , y 2 ) > .

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a) Mostre que em todo espaço vetorial V com < , > , se α = { v 1 , v 2 , v 3 } é uma base ortonormal de V ,   então ∀ w ∈ V temos

w 2 = < w , v 1 > 2 + < w , v 2 > 2 + < w , v 3 > 2

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Sejam v 1 e v 2 dois vetores ortogonais de R 2 , ambos com a norma 1 .

a   Mostre que, se x = α v 1 + β v 2 , então α = x v 1 〉 .

b   Seja T : R 2 ⟶ R 2 uma transformação linear. Escreva a matriz de T na base β = { v 1 ,   v 2 } usando os produtos internos de v 1 , v 2 , T v 1 e   T ( v 2 ) .

c   T é chamada de autoadjunta se, para quaisquer dois vetores u , v ∈ R 2 , vale:

T u v = u , T v

Mostre que se T é autoadjunta, então a matriz de T na base β = { v 1 , v 2 } é simétrica: T β T = T β

( d ) Verifique que T x , y = ( y , x ) é autoadjunta, mas que sua matriz na base γ = 2,0 , 0,1 não é simétrica.

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Sejam u = 4 e u + v , u - v = - 9 , então:

(a) v = 3

(b) v = 4

(c) v = 5

(d) v = 6

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No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

c Mostre que se T é positiva definida e u , v ∈ R n são vetores não nulos tais que u ,   T v = 0 , então { u , v } é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de { u , v } ser linearmente independente).

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No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

d   Seja R : R 2 ⟶ R 2 a rotação de π 4 no sentido trigonométrico em torno da origem. Mostre que R é positiva definida, mas não é diagonalizável.

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Considere vetores u → e v → tais que u → = 4 e v → = 2 e A n g u → , v → = 60 ° . Se x → = u → + v → , y → = 1 2 u → + v → , α = A n g ( u → , y → ) e β = A n g u → , x → , determine c o s α e c o s β e represente todos esses vetores e ângulos em uma figura.

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Considere o produto interno no espaço de polinômios de grau menor ou igual a 2 definido por

p . q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

Assinale um polinômio ortogonal a p x = x 2 + x + 1 :

  1. q x = 5 x 2 - 3 x + 7
  2. q x = 3 x 2 + 4 x + 11
  3. q x = 7 x 2 - 4 x - 4
  4. q x = 13 x 2 - 8 x - 2

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Se os vetores u → + 5 v → e u → - 5 v →   são ortogonais, então pode-se afirmar que:

  1. u → e v → sã ortogonais.
  2. u → + v → e u → - v → são ortogonais.
  3. u → = 5 v → .
  4. u → = v →

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Seja u → , v → , w → , r → um conjunto ortonormal:

I - u → - v → + w → - r → = 0

I I - u → - v → - w → - r → = 2

(a) I é falsa e I I é verdadeira

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) I é verdadeira e I I é falsa

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Sejam u → e v → vetores de R n . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se u → + v → = u → - v → , então u → , v → = 0

I I - Se u → , v → = 0 , então u → + v → = u → + v →

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são falsas

(c ) Ambas são verdadeiras

(d) I   é falsa e I I é verdadeira

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Sejam u → e v → vetores unitários do R n .

I   -   2 u → - v → é necessariamente menor do que 2 u → + v →

I I   - Se u → e v →   são ortogonais, então 2 u → - v → = 2 u → + v →

(a) Ambas são falsas

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e I I é verdadeira

(d) I é verdadeira e   I I é falsa

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Seja A = a 1 → … a n → ∈ R m × n uma matriz real com colunas   a 1 → … a n → .

(I) Se B = A T A , então a i-ésima entrada da j-ésima coluna de B é b i j = a i → , a j → .

(II) A x → , y → = A T y → , x → para todo x → ,   y → .

(a) (I) e (II) são verdadeiras.

(b) (I) e (II) são falsas.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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Sejam u → e v → vetores.

a) Prove que u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2 ( u → 2 + v → 2 ) .

Sabendo que 2 u → + 3 v → = 61 , 2 u → - 3 v → = 21 e v → = 5 3

b1) Calcule | u → | .

b2) Calcule u → . v → .

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Sejam u → um vetor de comprimento 2 e v → um vetor de comprimento 3 que formam um ângulo de 3 π 4 radianos. Calcule o produto interno

2 u → - v → ⋅ ( u → - 2 v → )

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Seja V o conjunto das combinações lineares dos vetores 1 ,   0 ,   3 e 0 ,   2 ,   3 que são ortogonais ao vetor 5 ,   4 ,   3 .

  1. V não é um subespaço vetorial de R 3 .
  2. V é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 1 .
  3. V é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 0 .
  4. V é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 2 .

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Sejam v , w vetores tais que v = w = 1 . Considere as afirmativas:

  1. v + w e v - w são ortogonais.
  2. É possível que v + w = v - w = 1

a   I e II são verdadeiras.

b   I é verdadeira e II é falsa

c   I é falsa e II é verdadeira

d   I e II são falsas.

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Seja u → ,   v → ,   w → ,   r → um conjunto de vetores dois a dois ortogonais:

  1. u → + v → é ortogonal a w → + r →
  2. u → - v → é ortogonal a w → - r →
  1. I é verdadeira e II é falsa.
  2. Ambas são falsas.
  3. I é falsa e II é verdadeira.
  4. Ambas são verdadeiras.

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Considere as afirmativas:

(I) Existem vetores u e v   em R n tais que u = v = 1 e u , v = 2 .

(II) Quaisquer que sejam os vetores u e v em R n , u - v ≥ u - v .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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