Enunciado

. No sistema

a 1 x   +   b 1 y   +   c 1 z   =   d 1  

a 2 x   +   b 2 y   +   c 2 z   =   d 2   ,  

admitindo que se têm realmente três incógnitas, mostre que se a1b2 − a2b1 = b1c2 − b2c1 = c1d2 − c2d1 = 0 então existe k 0 tal que a2 = ka1, b2 = kb1, c2 = kc1 e d2 = kd1.

Passo 1

Caso,   a 1 b 2   -   a 2 b 1   =   b 1 c 2   -   b 2 c 1   =   c 1 d 2   -   c 2 d 1 , então os planos são coincidentes somente se a 1 d 2 = a 2 d 2 . Dessa forma existe um único k ≠ 0 tal que a 2 a 1 = b 2 b 1 = c 2 c 1 = d 2 d 1 , pois os vetores linha da matriz de sistema e da matriz aumentada são colineares, ou seja, são múltiplos entre si.

Resposta

Demonstração

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Usando as matrizes A = 3 - 2 7 6 5 4 0 4 9 e B = 6 - 2 4 0 1 3 7 7 5 (a) expresse cada vetor coluna de A B como uma combinação linear dos vetores coluna de A
Usando as matrizes A = 3 - 2 7 6 5 4 0 4 9 e B = 6 - 2 4 0 1 3 7 7 5 (b) expresse cada vetor coluna de B A como uma combinação linear dos vetores coluna de B
Resolva a equação matricial ([[a,3],[-,1,a,+,b]]) = ([[4,d,-,2,c],[d,+,2,c,-,2]]) em termos de a , b , c e d .
Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B B = A .(c) Você acha que qualquer matriz 2 × 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Explique seu raciocínio
Seja A uma matriz m × n e o 0 a matriz m × n com todas as entradas nulas. Mostre que se k A = 0 , então k = 0 ou A = 0 .