Enunciado

Sejam a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 retas que se intersectam no ponto P. Prove que uma reta do plano passa por P se, e somente se, sua equação é da forma (αa1 + βa2)x + (αb1 + βb2)y = αc1 + βc2 onde α e β são números reais não simultaneamente nulos.

Passo 1

Para todos α e β pertencente aos reais, os dois sistemas abaixo possuem a mesma solução

a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 ⇒ ( α a 1 + β a 2 x + α b 1 + β b 2 y = α c 1 + β c 2

As retas se intersectam em ( x 0 , y 0 ) pois a 1 b 2 ≠ a 2 b 1 , dessa forma, tendo a 3 = α a 1 + β a 2 , b 3 = α b 1 + β b 2 e c 3 = α c 1 + β c 2 , ao anular um dos coeficiente de a 3 ou   b 3 , a reta obtida é horizontal ou vertical e passa pelo mesmo ponto P.

Resposta

Demonstração.

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