Enunciado

Dê a solução do sistema linear:

{[[(d x)/(d t) = x + y],[(d y)/(d t) = - x + 3 y]])

Passo 1

Pra resolver esse sisteminha, vamos começar escrevendo ele na forma matricial que aprendemos:

{[[(d x)/(d t) = x + y],[(d y)/(d t) = - x + 3 y]])

[[[(d x)/(d t)],[(d y)/(d t)]]] = [[[,1,1],[-,1,3]]] [[[x],[y]]]

Passo 2

Agora vamos fazer o que a gente já aprendeu: calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!

det ([[[,1,1],[-,1,3]]] - lambda I) = 0

|[[1,-,lambda,1],[-,1,3,-,lambda]]| = 0

Calculando o determinante:

(1 - lambda) (3 - lambda) + 1 = 0

Chegamos em:

lambda^2 - 4 lambda + 3 + 1 = 0

(lambda - 2)^2 = 0

Então vamos ter só uma solução, lambda = 2 , mas de multiplicidade 2 . Vamos encontrar os autovetores:

[[[,1,-,2,1],[-,1,3,-,2]]] [[[x],[y]]] = [[[0],[0]]]

Multiplicando, vamos obter duas equações equivalentes:

{[[- x + y = 0],[- x + y = 0]]) -> y = x

Então, o autovetor associado a lambda = 2 é ( 1 , 1 ) . Pô, mas só encontramos um autovetor! E aí, como é que faz? Sem desespero, meu querido.

Passo 3

Uma solução do nosso sistema vai ser:

X_1 = k_1 [[[1],[1]]] e^(2 t)

A outra solução a gente obtém fazendo essa brincadeira aqui, ó:

X_2 = [[[c_1,t,+,d_1],[c_2,t,+,d_2]]] e^(2 t)

Por um lado, derivando,

(d X_2)/(d t) = [[[c_1],[c_2]]] e^(2 t) + 2 [[[c_1,t,+,d_1],[c_2,t,+,d_2]]] e^(2 t)

E por outro lado,

A X_2 = [[[(c_1 + c_2),t,+,(,d_1,+,d_2,)],[(3 c_2 - c_1),t,+,(3 d_2 - d_1)]]] e^(2 t)

Como

(d X)/(d t) = A X

{[[2 c_1 t + 2 d_1 + c_1 = (c_1 + c_2) t + d_1 + d_2],[2 c_2 t + 2 d_2 + d_1 = (3 c_2 - c_1) t + 3 d_2 - d_1]])

Pela identidade polinomial,

{[[2 c_1 = c_1 + c_2],[2 d_1 + c_1 = d_1 + d_2],[2 c_2 = 3 c_2 - c_1],[2 d_2 + d_1 = 3 d_2 - d_1]])

Desenvolvendo,

{[[c_1 = c_2],[d_2 - d_1 = c_1],[c_1 = c_2],[2 d_1 = d_2]])

Podemos pegar qualquer solução para essa parada, porque depois vamos multiplicar por uma constante! Por isso, vamos pegar:

c_1 = c_2 = 1 , d_1 = 1 , d_2 = 1

Assim,

X_2 = [[[t],[t + 1]]] e^(2 t)

E aí, a solução geral é:

x (t) = k_1 e^(2 t) + k_2 t e^(2 t)

y (t) = k_1 e^(2 t) + k_2 (t + 1) e^(2 t)

Resposta

x (t) = k_1 e^(2 t) + k_2 t e^(2 t)

y (t) = k_1 e^(2 t) + k_2 (t + 1) e^(2 t)

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Em cada parte, determine se a equação é linear em x 1 , x 2 e x 3 na equação: x 1 3 / 5 - 2 x 2 + x 3 = 4
Em cada parte, determine se a equação é linear em x 1 , x 2 e x 3 na equação: x 1 + 3 x 2 - x 1 x 3 = 2
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: s e n 2 x 1 + x 3 = 5 e - 2 x 2 - 2 x 4 = 1 x 2
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: 4 x - y + 2 z = - 1 - x + ln ⁡ 2 y - 3 z = 0