Enunciado

Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2

  1. No eixo x .

[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]

Passo 1

Oieee, como cê tá?...

Vamos resolver essa questão, começando por montar a nossa matriz, depois encontrar a sua transposta, logo após fazer o produto da matriz com a transposta, depois jogar na fórmula pra obter a matriz correspondente. Começando em: 5, 4, 3, 2, 1, já!

Passo 2

O plano é unidimensional, e uma base que é w que tem as coordenadas ( 1,0 ) .

w = x

w = 1,0

Então vamos montar a nossa matriz.

A = 1 0  

A T = [ 1 0 ]

Agora vamos fazer o produto A T A :

A T A = 1 0 . 1 0 = a 11

a 11 = 1.1 + 0.0 = 1 + 0 = 1

A T A = [ 1 ]

Passo 3

Agora vamos substituir na Fórmula (10).

P = A A T A - 1 A T

P = 1 0 .   1 .   [ 1 0 ]

P = 1 0 . 1 0 = a 11 a 12 a 21 a 22

a 11 = 1.1 = 1

a 12 = 1.0 = 0

a 21 = 0.1 = 0

a 22 = 0.0 = 0

Resposta

P = 1 0 0 0

A diferença entre as matrizes é que essa questão é unidimensional e a tabela 4 é bidimensional.

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Mostre que se w =( a ,b ,c ) for um vetor não nulo, então a matriz canônica da projeção ortogonal de R 3 na reta g e r { w } é P = 1 a 2 + b 2 + c 2 a 2 a b a c a b b 2 b c a c b c c 2
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo y .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
10. Encontre a projeção ortogonal de u → = 5,6 , 7,2 no espaço solução do sistema linear homogêneo x 1 + x 2 + x 3 = 0 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0
9. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 4 gerado pelos vetores v → 1 , v → 2 e v → 3 .(a) u → = 6,3 , 9,6 ;v → 1 = 2,1 , 1,1 ,v → 2 = 1,0 , 1,1 , v → 3 = - 2 , - 1,0 ,
8. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 3 gerado pelos vetores v → 1 e v → 2 .(a) u → = 2,1 , 3 ;v → 1 = 1,1 , 0 ,v → 2 = 1,2 , 1 (b) u → = 1 , - 6,1 ;v → 1 = - 1,2 ,