Enunciado

Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( - 2 ,   1 ,   2 ) se for girado por um ângulo de θ = 90 ° em torno do eixo z.

Passo 1

Vamos lá, primeiro para facilitar esse tipo de problema devemos fazer o seguinte.

Como se trata de uma rotação em torno do eixo z , a coordenada correspondente ao eixo não irá mudar, então faremos uma transformação apenas nos eixos x y .

Usando a matriz de rotação R θ apresentada no livro, que é dada por:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora escrevemos as equações em forma de matriz para uma rotação de 90 ° , dessa forma temos:

R 90 ° x → = cos ⁡ 90   ° - sen ⁡ 90 ° sen ⁡ 90   ° cos ⁡ 90 ° * - 2 1  

Passo 3

Realizando a multiplicação:

R 90 ° x → = - 2 * cos ⁡ 90 ° + 2 * ( - sen ⁡ 90 ° ) - 2 * sen ⁡ 90 ° + 2 * cos ⁡ 90 °

Logo a imagem de - 2,1 , 2 defletida em um ângulo de 90 ° é:

- 1 ,   - 2 ,   2

Resposta

- 1 ,   - 2 ,   2    

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Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial dado. a) T:R 3→R 3 reflete cada vetor no plano x z e, em seguida,contrai esse vetor pelo fator k = 1 5 .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( x + 1 , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( x 2 , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( 3 x - 4 y , 2 x - 5 z ) .
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial dado. b) T:R 3→R 3 projeta cada vetor ortogonalmente sobre o plano x z e, em seguida, projeta esse vetor ortogonalmente sobre o plano x