Enunciado

Nos exercícios 1-4, verifique que det(kA)=k^n*det(A).

Passo 1

Vamos desenvolver o lado esquerdo da equação e depois o lado direito e comparar os resultados.

Multiplicando o k pela matriz:

k ⋅ A = - 2 ⋅ 2 - 1 3 3 2 1 1 4 5

- 2 ⋅ 2 - 1 3 3 2 1 1 4 5 = - 4 2 - 6 - 6 - 4 - 2 - 2 - 8 - 10

E agora calculamos o determinante dessa matriz:

det ⁡ k A = - 4 2 - 6 - 6 - 4 - 2 - 2 - 8 - 10

- 4 2 - 6 - 6 - 4 - 2 - 2 - 8 - 10 = - 160 + 8 - 288 - - 4 8 + 120 - 64

- 160 + 8 - 288 - - 48 + 120 - 64 = - 448

Passo 2

Agora vamos calcular a parte da direita:

k n ⋅ d e t A

A ordem da matriz é de: n = 3 , então temos

k n ⋅ d e t A = - 2 3 ⋅ 2 - 1 3 3 2 1 1 4 5

Calculando o determinante:

- 2 3 ⋅ 2 - 1 3 3 2 1 1 4 5 = - 8 ⋅ 2 0 - 1 + 36 - 6 - 15 + 8

- 8 ⋅ 20 - 1 + 36 - 6 - 15 + 8 = - 4 48

Como os dois resultado são iguais, nós verificamos que

det ⁡ k A = k n ⋅ det ⁡ A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A2 = A, então det(A) = 1.
Mostre que se Ak = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.
Sejam A e P matrizes nxn, sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ ( A ) .
Sejam A, B e D matrizes, pxp, px(n-p) e (n-p)x(n-p), respectivamente. Mostre que det ⁡ A B 0 D = det ⁡ A det ⁡ ( D )
b) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i =α A k + β A l , para α e β escalares e i ≠ k ,l , então det(A) = 0.