Enunciado

  1. Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.

c) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 em que a0, a1, a2 são inteiros.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:

p a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ,     a 0 ,   a 1 ,   a 2 ∈ Z

e

p b x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 ,     b 0 ,   b 1 ,   b 2 ∈ Z

Quando somamos eles:

p a x + p b x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3

Podemos agrupar os termos semelhantes:

p a x + p b x = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 x 2 + a 3 + b 3 x 3

A soma de dois números inteiros nos resulta um numero inteiro, dessa forma:

a 0 + b 0 ,   a 1 + b 1 ,   a 2 + b 2 ∈ Z

Ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

p a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k ⋅ p a x = k ⋅ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

k ⋅ p a x = k a 0 + k a 1 x + k a 2 x 2 + k a 3 x 3

Esse escalar k pode ser qualquer número, se ele for um número irracional, como por exemplo o π , a multiplicação dele pelos coeficientes, que são inteiros, não resultara em números inteiros e sim irracionais. Dessa forma:

k a 0 ,   k a 1 ,   k a 2 ∈ R

Ou seja, a segunda condição não é válida. Dessa maneira concluímos que esses polinômios não são um subespaço vetorial de P 3 .

Resposta

Não é um subespaço vetorial de P 3 .

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g. ( x , y , z ) , tais que y = 2 x + 1 ;
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R ³ ³?a. ( x , y , z ) ; tais que z = x ³ ³.
d. ( x , y , z , w ) , tais que x = 0 e y = - w ;
e. ( x , y , z ) , tais que x = z = 0 ;
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? d. ( 1 ,1 ,0 ,0 ) , ( 1 ,2 ,- 1 ,1 ) , ( 0 ,0 ,1 ,1 ) , ( 2 ,1 ,2 ,2 ) ;