Enunciado

1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.

  1. Todos os vetores da forma (a, b, 0).

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = u 1 ,   u 2 ,   0

e

v = v 1 ,   v 2 ,   0

Quando somamos eles:

u + v = u 1 ,   u 2 ,   0 + v 1 ,   v 2 ,   0

u + v = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   0

Continuamos com um vetor na forma a ,   b ,   0 , ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

u = u 1 ,   u 2 ,   0

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ u 1 ,   u 2 ,   0

k u = k u 1 ,   k u 2 ,   0

Que continua sendo um vetor na forma a ,   b ,   0 , ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que os vetores da forma a ,   b ,   0 formam um subespaço vetorial de R 3 .

Resposta

É um subespaço vetorial de R 3 .

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