Enunciado

2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n com as quais Ax=0 só tem a solução trivial.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

De acordo com o teorema 2.3.8 sabemos que se A x = 0 só tem a solução trivial então:

det ⁡ A ≠ 0

Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes quaisquer desse conjunto:

Essa primeira matriz tem os termo da diagonal principal iguais a 1 e o resto da matriz é toda preenchida com zeros:

u = 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1

E a segunda matriz tem os termos da diagonal principal iguais a - 1 e o resto da matriz preenchida com zeros:

v = - 1 0 … 0 0 - 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … - 1

Para descobrir o determinante dessas matrizes só precisamos multiplicar os valores da diagonal principal. Como nas duas não existem zeros na diagonal, o determinante é diferente de zero.

Porém quando somamos elas:

u + v = 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1 + - 1 0 … 0 0 - 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … - 1

u + v = 1 - 1 0 … 0 0 1 - 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1 - 1

u + v = 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0

Obtemos uma matriz com todos os valores da diagonal principal iguais a zero. Multiplicando eles temos um determinante igual a 0. Dessa forma acabamos de ver que a primeira condição não é satisfeita, ou seja, essas matrizes não formam um subespaço.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de M n n .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = x , x 2 ; x ∈ R
No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ; y = x + 1 }
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão