Enunciado

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.

a) u → ⋅ u → = 0 ⇔ u → = 0 →

b) u → ⋅ v → = 0 ⇒ u → = 0 →     o u     v → = 0 →

c) u → ⋅ v → - w → = u → ⋅ v → - u → ⋅ w →

d) u → = - v → ⇒ u → ⋅ v → ≤ 0

Passo 1

Esse é um problema de verdadeiro ou falso. Nossa primeira afirmativa é u → ⋅ u → = 0 ⇔ u → = 0 → . Vamos provar primeiro a ida ( ⟹ ) :

Sabemos que u → ⋅ u → ≥ 0 . Além disso, pelo item (d) da última proposição, se u → ≠ 0 → , então u → ⋅ u → > 0 . Desta forma, pela negação da proposição, temos que

u → ⋅ u → = 0 ⇒ u → = 0 →

Agora vamos provar a volta ( ):

Se u → = 0 → , temos que u → = 0 . Portanto, u → ⋅ u → = 0 . Assim,

u → = 0 → ⟹ u → ⋅ u → = 0

Como vale tanto a ida como a volta, a afirmação é verdadeira!

Passo 2

No item (b) temos u → ⋅ v → = 0 ⇒ u → = 0 →     o u     v → = 0 → que é claramente falsa, pois se o produto escalar de dois vetores é nulo, não significa necessariamente que um deles é nulo, eles podem ser apenas ortogonais!

Já no item (c), temos que

u → ⋅ v → - w → = u → ⋅ v → + - w → = u → ⋅ v → + u → ⋅ - w → = u → ⋅ v → - u → ⋅ w →

Portanto ela é verdadeira!

Passo 3

Já no item (d) partimos de u → = - v → . Assim,

u → ⋅ v → = u → ⋅ - u → = - u → ⋅ u →

Mas sabemos que u → ⋅ u → ≥ 0 , de modo que - u → ⋅ u → ≤ 0 . Portanto,

u → = - v → ⇒ u → ⋅ v → ≤ 0

A afirmativa é verdadeira!

Resposta

V   F   V   V

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