Enunciado

A Figura 9-4 (b) mostra um cubo. Sabendo que o comprimento de C M é o dobro do comprimento de G M , calcule a medida do ângulo B Â M .

Passo 1

Para simplificar bastante as contas, vamos adotar a base ( A B → ,   A D → ,   A E → ) . Assim, as coordenadas dos pontos de interesse são:

A = ( 0 ,   0 ,   0 )

B = ( 1 ,   0 ,   0 )

M = 1 ,   1 , 2 3

A base escolhida é ortonormal, então podemos brincar com produto escalar!

Passo 2

O que queremos é o ângulo entre   u → = A B → e v → = A M → . Desta forma, precisamos achar esses vetores:

u → = B - A = ( 1 ,   0 ,   0 )

v → = M - A = 1 ,   1 , 2 3

Passo 3

Para achar o ângulo entre eles, usamos:

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → v →

As normas são:

u → = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

v → = 1 2 + 1 2 + 2 3 2 = 1 + 1 + 4 9 = 22 3

Já o produto escalar é

u → ⋅ v → = 1 ,   0 ,   0 ⋅ 1 ,   1 , 2 3 = 1

Portanto,

cos ⁡ θ = 1 1 ⋅ 22 3 = 3 22

Logo,

θ = arccos ⁡ 3 22

Resposta

θ = arccos ⁡ 3 22

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Encontre um vetor unitário que tenha a mesma direção que o vetor dado:
Encontre um vetor a → com representação dada pela direção da linha A B → . Desenhe A B → e a representação equivalente a partir da origem.
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