Enunciado

Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 .

  1. { 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 }
  2. { 3 ,   - 6 ,   - 4 ,   8 }
  3. { 0 ,   0 ,   2 ,   3 }
  4. { 3 ,   - 1 ,   2 ,   3 }

Passo 1

A gente já sabe que um conjunto de dois vetores do R 2 forma base do R 2 quando eles são L I . Aqui no caso do R 2 , a gente pode dizer que os vetores são L I quando não são múltiplos um do outro, já que a combinação linear deles é:

a u + b v = 0

u = - b a v

Ou seja, se eles forem múltiplos, são L D . Queremos então os pares de vetores que não são múltiplos, porque aí estamos achando os vetores L I . Bora lá!

Passo 2

  1. { 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 }
  2. Dá pra gente ver de cara que não são múltiplos um do outro, porque - 1 = - ( 1 ) , mas 3 = 3 2 ( 2 ) . Então esses são L I e formam base do R 2 .

    Passo 3

  3. { 3 ,   - 6 ,   - 4 ,   8 }
  4. Aqui os vetores são L D , porque:

    - 4 ,   8 = - 4 3 ( 3 ,   - 6 )

    Por isso, não forma base do R 2 .

    Passo 4

  5. { 0 ,   0 ,   2 ,   3 }
  6. Todo conjunto que tem o vetor nulo é L D , porque qualquer que seja o coeficiente dele na combinação linear, vamos chegar no 0 se botarmos os coeficientes dos outros vetores iguais a 0 . Por isso, essa é L D e não forma base do R 2 .

    Passo 5

  7. { 3 ,   - 1 ,   2 ,   3 }

Os vetores são L I , já que não são múltiplos um do outro. Por isso, esse conjunto forma base do R 2 .

Resposta

a e d formam base do R 2 .

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