Enunciado

Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( y ,   x )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( y , x ) . Vamos considerar u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) . Assim,

T u + v = T a + c ,   b + d = b + d ,   a + c

Agora note que isso pode ser quebrado em

T u + v = b ,   a + ( d ,   c )

E as duas parcelas são exatamente T u = ( b , a ) e T v = ( d ,   c ) . Assim,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Para testar a segunda, vamos fazer

T λ u = T λ a , b = T λ a ,   λ b

Assim, aplicando a transformação:

T λ u = λ b ,   λ a

Como λ aparece em todo mundo, podemos tirá-lo para fora:

T λ u = λ   b ,   a = λ T ( u )

Vemos que a segunda condição também é satisfeita. Assim, T é uma transformação linear!!!

Resposta

Sim

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( 2 x ,0 )
Dada a transformação linear T : V → W , tal que T u = 3 u e T v = u - v , calcular em função de u e v :a) T ( u + v ) b) T ( 3 v ) c) T ( 4 u - 5 v )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x y , x -y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( y - x ,0 )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R , T x , y = x y