Enunciado

Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( x ,   2 y )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( x ,   2 y ) . Aqui a caca vai acontecer por causa do módulo...

Passo 2

Se tentarmos verificar a segunda propriedade co u = ( a ,   b ) , olha o que acontece:

T λ u = T λ a , λ b = ( λ a ,   2 λ b )

Note que o λ da segunda coordenada pode ser puxado para fora sem problema, mas o da primeira não, pois ele está dentro do módulo. Assim a propriedade não é verificada.

Por exemplo, vamos tentar com λ = - 1 :

T - u = T - a ,   - b = a ,   - 2 b ≠ - T ( u )

Vemos que T não é linear!

Resposta

Não

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Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( x ,- y )
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = - 2( x ,y )
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( - 2 x ,2 y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( y ,x )