Enunciado

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a 1 a b ,   a , b ∈ R

Passo 1

Pra termos um subespaço, o subconjunto precisa atender duas condições:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

E isso vale tanto pra vetores quanto pra matrizes! As propriedades de subespaço são iguaizinhas pra um e pra outro. Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence. Vamos pegar duas matrizes desse subconjunto e testar as propriedades:

M = a 1 a b

N = c 1 c d

Passo 2

A soma vai ser:

M + N = a 1 a b + c 1 c d

M + N = a + c 2 a + c b + d

Pô, ficou quase perfeito, mas aquele termo da primeira linha e segunda coluna ficou 2 , não 1 . Daí a matriz soma não está no subconjunto. Isso quer dizer que não vale a primeira propriedade, e então já era, não temos um subespaço.

Passo 3

Vamos ver a segunda também: bora multiplicar por um escalar α .

α M = α a α α a α b

Pô, aconteceu a mesma coisa, aquele termo que era pra ser 1 ficou α , então a não ser que α = 1 , essa matriz não tá no subconjunto. Como não atendeu nenhuma das duas, o subconjunto não é subespaço.

Resposta

Não é subespaço.

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