Enunciado

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

S = x , x 2 ; x ∈ R

Passo 1

São duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Ou seja, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Passo 2

Então pega dois vetores genéricos de S   pra gente testar. Vamos pegar u = ( x , x 2 ) e v = y , y 2 . A soma deles é:

u + v = x , x 2 + y , y 2

u + v = ( x + y ,   x 2 + y 2 )

Opa, pera lá! Os elementos do nosso subespaço tem a segunda coordenada igual ao quadrado da primeira, mas esse aí não atende a isso!

x + y = x 2 + y 2 + 2 x y

Faltou esse termo 2 x y aí! Então a gente vê de cara que o resultado da soma não está em S , e então não vale a primeira propriedade. Daí, não é um subespaço.

Passo 3

Olha só um contraexemplo. Os vetores u = ( 1 ,   1 ) e v = ( 2 ,   4 ) estão em S , certo? Mas o vetor soma deles...

u + v = 1 ,   1 + 2 ,   4

u + v = ( 3 ,   5 )

Esse claramente não tá no subconjunto!

Resposta

Não é subespaço.

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