Enunciado

Verifique que os autovalores da matriz anti-hermitiana A são números imaginários puros.

A = 0 - 1 + i 1 + i i

Passo 1

Como desejamos mostrar que os autovalores da matriz anti-hermitiana são imaginários devamos, então, calculá-los e para isso devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 - 1 + i 1 + i i = det ⁡ λ 1 - i - 1 - i λ - i

Esse determinante é calculado fazendo a multiplicação dos elementos da diagonal principal menos o valor da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. Dessa forma, vamos ter

λ ⋅ λ - i - 1 - i ⋅ - 1 - i = λ 2 - λ i + 2

Assim, a equação característica fica sendo

det ⁡ λ I - A = 0 → λ 2 - λ i + 2 = 0

Achou que nunca mais veria Baskhara na sua vida, né? Pois é, achou errado!

Vamos usar exatamente a fórmula de Baskhara para provar que nossos autovalores são imaginário, assim, temos

λ 1,2 = i ± i 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2

λ 1,2 = i ± - 9 2 = i ± 3 i 2

λ 1 = 2 i ,   λ 2 = - i

E está provado que nossos autovalores são imaginários.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P . A = 3 - i i 3
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