Enunciado

37. Encontre uma matriz 2 × 2 que seja hermitiana e unitária e cujas entradas não sejam todas números reais.

Passo 1

Como seria a cara de uma matriz hermitiana 2 × 2 ?

A = a 11 a 12 + b 12 i a 12 - b 12 i a 22

E para ela ser unitária:

A - 1 = A *

Além dos vetores coluna serem ortonormais.

O que isso quer dizer?

Sendo:

u = a 11 , a 12 - b 12 i

v = a 12 + b 12 i , a 22

u = 1

v = 1

u ⋅ v = 0

Passo 2

Como:

A = A *

A - 1 = A *

Então:

A A - 1 = I

A A * = I

E, finalmente:

A A = I

Aplicando determinantes:

det ⁡ A A = det ⁡ I

det ⁡ A det ⁡ A = det ⁡ I

det ⁡ A det ⁡ A = 1

Então:

det ⁡ A = 1

Passo 3

Calculando determinante com as letras:

det ⁡ A = det ⁡ a 11 a 12 + b 12 i a 12 - b 12 i a 22

det ⁡ A = a 11 a 22 - a 12 - b 12 i a 12 + b 12 i

det ⁡ A = a 11 a 22 - a 12 2 - b 12 2

Então:

a 11 a 22 - a 12 2 - b 12 2 = 1

a 11 a 22 - a 12 2 + b 12 2 = 1   i

Passo 4

Vamos calcular a norma do vetor pra ver:

u = a 11 2 + a 12 - b 12 2

a 11 2 + a 12 - b 12 2 = 1

a 11 2 + a 12 - b 12 2 = 1

a 11 2 + a 12 2 - 2 a 12 b 12 + b 12 2 = 1   i i

Passo 5

E agora fazendo o produto interno:

u ⋅ v = a 11 - b 12 i + - b 12 i a 22

- a 11 b 12 i - a 22 b 12 i = 0

a 11 + a 22 b 12 i = 0

Então:

a 11 + a 22 b 12 = 0

Como b 12 não pode ser zero, então:

a 11 + a 22 = 0

a 11 = - a 22

Passo 6

Igualando ( i ) e i i :

a 11 a 22 - a 12 2 + b 12 2 = a 11 2 + a 12 2 - 2 a 12 b 12 + b 12 2

Com a 11 = - a 22

- a 11 2 - a 12 2 + b 12 2 = a 11 2 + a 12 2 - 2 a 12 b 12 + b 12 2

- a 12 2 = a 12 2 - 2 a 12 b 12

2 a 12 2 - 2 a 12 2 b 12 = 0

a 12 a 12 - b 12 = 0

a 12 = 0

Ficamos com:

a 11 2 + b 12 2 = 1

Agora vamos chutar os valores que satisfaçam isso... tipo... Se a 11 = b 12 :

2 a 11 2 = 1

a 11 = 1 2

E ficamos, finalmente, com:

A = 1 2 - 1 2 i 1 2 i - 1 2

Resposta

A = 1 2 - 1 2 i 1 2 i - 1 2

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