Enunciado

Prove que se B e B ' forem as bases canônicas de R n e R m , respectivamente, então a matriz de uma transformação linear T   :   R n   →   R m em relação às bases B e B ’ será a matriz canônica de T .

Passo 1

Vamos lá! Sendo B a matriz canônica de R n , logo B = e 1 ,   e 2 , … , e n , Nossa matriz de transformação T será:

A = [ T e 1 , T   e 2 , … , T ( e n ) ]

Onde T e i , é a representação da imagem de e i sobre a matriz de transformação T na matriz canônica B ' .

Vamos fazer x ∈ R n , sendo x um vetor arbitrário sobre o domínio de R n , vamos escrever a combinação linear de x .

x = x 1 e 1 + x 2 e 2 … + x n e n

Aplicando a matriz T em x temos:

T x = T ( x 1 ) e 1 + T ( x 2 ) e 2 … + T ( x n ) e n

T x = [ T e 1 , T   e 2 , … , T ( e n ) ] ⋅ x 1 x 2 ⋮ ⋮ ⋮ x n

T x = A ⋅ x 1 x 2 ⋮ ⋮ ⋮ x n

Assim provamos que se B e B ' forem as bases canônicas de R n e R m , respectivamente, então a matriz de uma transformação linear T   :   R n   →   R m em relação às bases B e B ’ será a matriz canônica de T .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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