Enunciado

Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes e justifique sua resposta.

a) Se G = a → ,   b → ,   c → é uma base ortonormal negativa, então

a → ∧ b → = - c →                                                         b → ∧ c → = - a →                             c → ∧ a → = - b →

b → ∧ a → = c →                                                     c → ∧ b → = a →                                         a → ∧ c → = b →  

b) Se E = p → ,   q → ,   r → é uma base ortonormal positiva e u → = 1 ,   2 ,   5 E e v → = 2 ,   0 ,   - 1 E , então

u → ∧ v → = i → j → k → 1 2 5 2 0 - 1 = - 2 ,   11 ,   - 4

Passo 1

Para o item (a), vamos o regra do reloginho. Como a base é negativa, o produto será positivo no sentido horário:

Portanto, fazendo os produtos nesse sentido:

b → ∧ a → = c →                                                     c → ∧ b → = a →                                         a → ∧ c → = b →

No sentido contrário:

a → ∧ b → = - c →                                                         b → ∧ c → = - a →                             c → ∧ a → = - b →

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 2

No item (b) a afirmativa é falsa pois não sabemos que são os vetores i → , j → e k → , conhecemos apenas os vetores da base E = p → ,   q → ,   r → , que é positiva. A afirmação estaria correta se fosse escrita como

u → ∧ v → = p → q → r → 1 2 5 2 0 - 1 = - 2 ,   11 ,   - 4 E

Resposta

V   F

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Sendo u → = ( 1 , - 2,4 ) e v → = ( 6,1 , - 1 ) , determine x → = ( a , b , c ) tal que x → seja ortogonal ao vetor ( - 1,2 , 1 ) e obedeça à equação u → ^ x → = v → .
Sejam u → , v →ew → três vetores tais que u → . v → = v → . w → = u → . w → = 0 , u → = 2 , v → = 2ew → = 2 . Dados a → = 2 u → + v → - w → e b → = u → - v → , calcule a → , b → , a → . b →ea → ^ b →
Temos a → = 2 , b → = 1ea → ^ b → = c → . Os vetores a → e b → são, respectivamente, paralelos aos vetores i → e j → e têm os mesmos sentidos que esses. Calcule a área do triângulo A B C , sendo A B →
Use o produto vetorial para obter as coordenadas do pé da perpendicular baixada do ponto P = 1,2 , 3 sobre o plano que contém os pontos A = 5,6 , 0 ,B = 0,2 , 2eC = 1,0 , 4 .
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2, 1, 6) e os três vértices adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1).