Enunciado

O lado do quadrado A B C D mede 2 , A C é diagonal e M é ponto médio de B C . Calcule D M → ∧ D B → .

Passo 1

Vamos começar definindo uma base ortonormal positiva i → ,   j → ,   k → :

Com essa definição de base,   B A → = 2   j → ,   B C → = 2   i → e   B M → = i → .

O vetor k → = i → ∧ j → é normal ao plano do quadrado e aponta para fora da figura. Beleza?!

Agora temos que escrever   D M → D B → nessa base:

D M → = D C → + C M → = - B A → - B M → = - 2 j → - i → = ( - 1 ,   - 2 ,   0 )

Da mesma forma,

D B → = D C → + C B → = - B A → - B C → = - 2 j → - 2 i → = ( - 2 ,   - 2 ,   0 )

Show de bola?!

Passo 2

Fazendo o produto vetorial:

D M → ∧ D B → = i → j → k → - 1 - 2 0 - 2 - 2 0 = ( 0 ,   0 ,   - 2 )

Assim,

D M → ∧ D B → = 2

Resposta

D M → ∧ D B → = 2

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Calcule a área do triângulo com vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3).
Sabe-se que o vetor X é ortogonal a i → + j → e a - i → + k → , tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre X e j → , tem-se cos θ0. Ache X.
Ache X tal que X × ( i → + k → ) = 2 ( i → + j → - k → ) e X = 6 .
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