Enunciado

Verifique de u → , v → e w → são LI ou LD.

a) u → = ( 1 ,   0 ,   0 ) , v → = ( 200 ,   2 ,   1 ) , w → = ( 300 ,   1 ,   2 ) .

b) u → = ( 1 ,   2 ,   1 ) , v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 7 ) , w → = ( 4 ,   5 ,   - 4 ) .

c) u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , v → = ( - 3 ,   4 ,   1 ) , w → = ( 1 ,   0 ,   9 ) .

d) u → = ( 7 ,   6 ,   1 ) , v → = ( 2 ,   0 ,   1 ) , w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) .

Passo 1

O exercício pede para verificarmos se os vetores dados são LI ou LD. Para isso, construímos o determinante com as coordenadas: caso ele seja nulo, os vetores são LD; caso contrário, eles são LI.

No item (a), temos que u → = ( 1 ,   0 ,   0 ) , v → = ( 200 ,   2 ,   1 ) , w → = ( 300 ,   1 ,   2 ) , de modo que o determinante fica

D = 1 0 0 200 2 1 300 1 2

Desenvolvendo com relação a primeira linha:

D = 1 ⋅ 4 - 1 - 0 + 0 = 3 ≠ 0

Portanto, os vetores são LI!

Passo 2

Já no item (b), u → = ( 1 ,   2 ,   1 ) , v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 7 ) , w → = ( 4 ,   5 ,   - 4 ) . Assim,

D = 1 2 1 1 - 1 - 7 4 5 - 4

Portanto,

D = 1 ⋅ 4 + 35 - 2 ⋅ - 4 + 28 + 1 ⋅ 5 + 4 = 3 9 - 48 + 9 = 0

Logo, os vetores são LD.

Passo 3

No item (c), u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , v → = ( - 3 ,   4 ,   1 ) , w → = ( 1 ,   0 ,   9 ) :

D = 1 - 1 2 - 3 4 1 1 0 9

Logo,

D = 1 ⋅ 36 - 0 - - 1 ⋅ - 27 - 1 + 2 ⋅ 0 - 4 = 36 - 28 - 8 = 0

Como D = 0 , os vetores são LD!

Passo 4

Por fim, no item (d), u → = ( 7 ,   6 ,   1 ) , v → = ( 2 ,   0 ,   1 ) , w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) :

D = 7 6 1 2 0 1 1 - 2 1 = 7 ⋅ 0 + 2 - 6 ⋅ 2 - 1 + 1 ⋅ ( - 4 - 0 )

Assim,

D = 14 - 6 - 4 = 4 ≠ 0

Os vetores são LI.

Resposta

LI, LD, LD, LI

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Determine m e n tais que ( u → ,v → ) seja LD, sendo u → = ( 1 ,m ,n + 1 ) e v → = ( m ,n ,10 ) .
Verifique se u → e v → são LI ou LD.a) u → = 0 ,1 ,0 ,v → = ( 1 ,0 ,1 ) b) u → = 0 ,11 ,1 ,v → = ( 0 ,- 22 ,- 2 ) c) u → = 0 ,1 ,1 ,v → = ( 0 ,3 ,1 ) d) u → = 1 ,- 3 ,14 ,v → = 1 14 ,- 3 14 ,1
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 2 ?d) u 1 =3 ,9 ,u 2 =- 4 ,- 12
Em cada parte, explique em palavras por que os vetores dados não são uma base do espaço vetorial dado. u 1 =1 ,2 ,u 2 =0 ,3 ,u 3 =( 2 ,7 ) para R 2