Enunciado

Os vértices do paralelogramo A B C D pertencem as assíntotas da hipérbole H : x 2 - 4 y 2 + 7 = 0 e um de seus lados mede 73 e está contido em uma reta tangente a H . Determine A , B , C , D .

Passo 1

A hipérbole tem equação igual a:

- x 2 7 + 4 y 2 7 = 1

Portanto a equação das retas assíntotas serão iguais a:

y = ± 7 4 7 x = ± x 2

Passo 2

Sabendo que essa reta de comprimento de 73 sai de uma assíntota para a outra. E chamando y 1 a reta com coeficiente positivo e y 2 a reta com coeficiente negativo nós teremos:

x 2 - x 1 2 + x 2 2 - x 1 2 2 = 73

x 2 2 - 2 x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 4 - x 2 x 1 2 + x 1 2 4 = 73

5 x 2 2 4 - 3 x 1 x 2 2 + 5 x 1 2 4 = 73

5 x 2 2 - 6 x 1 x 2 + 5 x 1 2 = 292

Passo 3

Agora vamos para a equação da reta tangente sabendo que ele vai do ponto x 1 , x 1 2 e vai para o ponto x 2 , - x 2 2 , então:

x 1 + x 2 2 = m x 1 - x 2 → m = x 1 + x 2 2 ( x 1 - x 2 )

Onde y = m x + c

Aplicando o ponto x 1 , x 1 2

x 1 2 = x 1 + x 2 2 ( x 1 - x 2 ) ⋅ x 1 + c

x 1 2 1 - x 1 + x 2 x 1 - x 2 = c

c = x 1 2 - 2 x 2 x 1 - x 2 = - x 1 x 2 x 1 - x 2

Então a equação da reta tangente será algo como:

y = x 1 + x 2 2 ( x 1 - x 2 ) x - x 1 x 2 x 1 - x 2   ( 1 )

E como a equação da reta tangente para essa hipérbole terá uma forma de:

- h x 7 + 4 k y 7 = 1

- h x + 4 k y = 7

Então podemos escrever a equação ( 1 ) da seguinte forma:

x 1 - x 2 y - x 1 + x 2 2 x = - x 1 x 2

Então podemos ver que:

- x 1 x 2 = 7 → x 1 = - 7 x 2

Substituindo isso na equação no final do passo 2 teremos:

5 x 2 2 - 6 ⋅ - 7 x 2 x 2 + 5 - 7 x 2 2 = 292

5 x 2 2 + 42 + 245 x 2 2 = 292

5 x 2 2 + 245 x 2 2 = 250

5 x 2 4 - 250 x 2 2 + 245 = 0

Fazendo a = x 2 2 nós teremos:

5 a 2 - 250 a + 24 5 = 0

Cujas raízes são:

a 1 = 1 ; a 2 = 49

Então:

x 2 = ± 1   e   x 2 = ± 7

Passo 4

Como:

x 1 = - 7 x 2

Então quando:

x 2 = 1 → x 1 = - 7

x 2 = - 1 → x 1 = 7

x 2 = 7 → x 1 = - 1

x 2 = - 7 → x 1 = 1

E temos que ver que quando temos um ponto x 2 = 1 ,   y 2 = - 1 2 (2 tem coeficiente negativo) nós teremos o seu complementar x 2 = - 1   ,   y 2 = 1 2 , assim como por ter x 1 = - 7 ,   y 1 = - 7 2 também teremos seu complementar x 1 , y 1 = 7 , 7 2 . Pois esses pontos estão em pontos simétricos causadas pelas retas assíntotas. Note que já fechamos um paralelogramo onde todos os lados tem comprimento igual a 73 (isso se deve a equação do quarto grau que encontramos). Isso nos dá dois paralelogramos com vértices em:

1 , - 1 2 ,   - 1 , 1 2 ,   - 7 ,   - 7 2 ,   7 , 7 2

E

1 , 1 2 ,   - 1 , - 1 2 ,   7 ,   - 7 2 ,   - 7 , 7 2

A imagem desse gráfico está representada abaixo.

Resposta

1 , - 1 2 ,   - 1 , 1 2 ,   - 7 ,   - 7 2 ,   7 , 7 2

E

1 , 1 2 ,   - 1 , - 1 2 ,   7 ,   - 7 2 ,   - 7 , 7 2

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