Enunciado

( a ) Sejam S a superfície esférica de centro C e raio ρ , e π , o plano tangente a S em T . Prove que todos os pontos de S , exceto T , pertencem ao semi-espaço aberto de origem π que contém C (isto é, π não os separa de C ).

( b ) Calcule o raio de uma superfície esférica tangente aos três planos coordenados que contém o ponto ( 1 , - 1,2 )

Passo 1

Da questão anterior nós vimos que um plano tangente respeita a seguinte equação vetorial:

C T → ⋅ C X → = ρ 2

E basicamente o que essa questão pede é que provemos que o plano π não corta a esfera em nenhum ponto (a não ser o ponto de tangência T ) de modo a ter um ponto da esfera que está numa metade desse corte feito pelo plano e o centro C no outro. Tal como a imagem embaixo.

Provar que essa imagem é absurda!

Vamos por exemplo considerar que temos uma esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e temos um plano tangente em ( 1,0 , 0 ) ou seja o plano tangente será em x = 1 :

Se por um acaso quisermos saber o comportamento da equação C T → ⋅ C X → = ρ 2   no ponto ( 0,1 , 0 ) nós teremos:

1,0 , 0 ⋅ 0,1 , 0 = 0

E no ponto 2 2 , 2 2 , 0 , que pertence a esfera.

1,0 , 0 ⋅ 2 2 , 2 2 , 0 = 2 2

Isso é, se o ponto X está antes do plano o resultado da multiplicação C T → ⋅ C X → , dará menor que ρ 2 e se tiver depois ele dará maior que ρ 2 e se ele está depois a multiplicação dará maior que ρ 2 .

Passo 2

De maneira mais genérica, tomemos um centro de círculo de centro ( x 0 , y 0 , z 0 ) , um ponto de tangência em ( h , k , l ) e um X em ( a , b , c ) diferente de T , nós teremos então uma expressão igual a:

  C T → ⋅ C X →

h - x 0 , k - y 0 , l - z 0 ⋅ a - x 0 , b - y 0 , c - y o

h - x 0 ( a - x 0 ) + k - y 0 ( b - y 0 ) + l - z 0 ( c - z 0 )

E como a equação da esfera é algo como:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Então só temos uma possibilidade para   C T → ⋅ C X →   ser igual a ρ 2 , que é h , k , l = ( a , b , c ) , e como ( a , b , c ) supomos X ≠ T , então isso é um absurdo e isso não ocorrerá. Somente quando X = T .

Passo 3

Na letra b nós teremos que para a esfera ser tangentes aos três planos ordenados então x 0 = y 0 = z 0 = ρ , tal como visto no exercício 30   e se ele contém o ponto ( 1 , - 1,2 ) então pela parte a sabemos que:

x 0 > 0 , y 0 < 0 , z 0 > 0

Pois o plano tangente separa as coordenadas positivas das negativas nos três planos, logo a esfera somente terá coordenadas positivas em x , somente negativas em y e somente positivas em z .

Então aplicando o ponto ( 1 , - 1,2 ) em uma esfera de centro ( m , - m , m ) nós teremos:

1 - m 2 + - 1 + m 2 + 2 - m 2 = m 2

3 m 2 - 8 m + 6 = m 2

2 m 2 - 8 m + 6 = 0

Cujas raízes serão: m = 1 e m = 3 , e esses serão os valores dos raios da esfera.

A superfície esférica pode ser vista abaixo:

Resposta

a )   P a s s o   1   e   2

b ) ρ = 1 ; ρ = 3

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Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,- 3 ,4 ) e:tangente ao plano y O z .
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.Centro C ( 2 , - 3,1 ) e raio 4 .
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.O centro C ( 0 , - 4,3 ) e tangente ao plano π : x + 2 y - 2 z - 2 = 0 .
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.O segmento de extremos A ( - 1 , 3 , - 5 ) e B ( 5 , - 1 , - 3 ) é um de seus diâmetros.
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no pontoP b) E : ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 12 ; P ( 1 , - 3,4 )