Enunciado

Os vetores não-nulos u → e v → são ortogonais, têm normas iguais, e w → é gerado por eles. Sabendo que w → ⋅ u → = w → ⋅ v → e que w → não é nulo, obtenha as medidas angulares entre u → e w → e entre v → e w → .

Passo 1

A questão fala sobre três vetores u → , v → e w → , sendo que os dois primeiros são ortogonais e w → é gerado por eles, o que significa que

w → = a u → + b v →

Sabemos que o ângulo entre dois vetores θ = a n g   u → ,   w → é:

cos ⁡ θ = u → ⋅ w → u →   w →

Analogamente, para α = a n g   v → ,   w → :

cos ⁡ α = v → ⋅ w → v →   w →

Como w → ⋅ u → = w → ⋅ v → e u → = v → , temos que

α = θ

Passo 2

Por outro lado, como u → e v → são ortogonais, temos que

α + θ = 90 °               o u               α + θ = 270 °

Assim, obtemos que

α = θ = 45 °                 o u             α = θ = 135 °

Resposta

45 °   e   45 °               o u               135 °   e   13 5 °

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