Enunciado

Os vetores v 1 = ( 1 ,   1 ) e v 2 = ( 2 ,   - 1 ) são vetores próprios de um operador linear T :   R 2 → R 2 , associados a λ 1 = 5 e λ 2 = - 1 , respectivamente. Determinar a imagem do vetor v = ( 4 ,   1 ) por esse operador.

Passo 1

Quando fala em valor e vetor próprio, a primeira coisa que tem que vir na cabeça é aquela fórmula da definição deles:

T v = λ v

Vamos escrever o que a gente tem então, porque senão a gente não sai do lugar! Primeiro pro vetor v 1 :

T v 1 = λ 1 v 1

T 1 ,   1 = 5 1 ,   1

T 1 ,   1 = 5 ,   5

Escreve também pro vetor v 2 :

T v 2 = λ 2 v 2

T 2 ,   - 1 = - 1 2 ,   - 1

T 2 ,   - 1 = ( - 2 ,   1 )

Passo 2

Então a gente tem um sisteminha:

T 1 ,   1 = ( 5,5 ) T 2 ,   - 1 = ( - 2 ,   1 )

A gente quer a transformação aplicada no vetor v = ( 4,1 ) . O que é legal nessa parada de transformação é que a gente pode sair aplicando elas nos vetores! Pra ver o que eu quero dizer, vamos escrever o vetor v como combinação linear de v 1 e v 2 .

v = a v 1 + b v 2

4 ,   1 = a 1 ,   1 + b 2 ,   - 1

a + 2 b = 4 a - b = 1

Subtraindo as equações, obtemos:

3 b = 3

b = 1

E substituindo na primeira:

a + 2 = 4

a = 2

Passo 3

Então a combinação linear pod ser escrita como:

4 ,   1 = 2 1 ,   1 + 1 2 ,   - 1

Aqui que entra a beleza das transformações lineares! Aplica a transformação nesses vetores aí:

T 4 ,   1 = 2 T 1 ,   1 + T 2 ,   - 1

Substituindo o que encontramos ali em cima:

T 4 ,   1 = 2 5 ,   5 + - 2 ,   1

T 4 ,   1 = 8 ,   11

Beleza, isso era exatamente o que a gente queria!

Resposta

T 4 ,   1 = 8 ,   11

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