Enunciado

Suponha que λ 1 e λ 2 sejam autovalores distintos de zero de T : R 2 → R 2 . Mostre que

  1. Os autovetores v 1 e v 2 correspondentes são LI.
  2. T v 1 e T v 2 são LI.

Passo 1

  1. Lembre-se que v 1 e v 2 são LI se:

a 1 v 1 + a 2 v 2 = 0

Logo a 1 = a 2 = 0 .

Assim:

a 1 v 1 + a 2 v 2 = 0 → T - λ I a 1 v 1 + a 2 v 2 = 0 → T -   λ 1 I a 1 v 1 + T -   λ 1 I a 2 v 2 = 0 →

→ a 1 T v 1 -   λ 1 a 1 I v 1 + a 2 T v 2 -   λ 1 a 2 I v 2 = 0 →

→ a 1 λ 1 v 1 -   λ 1 a 1 v 1 + a 2 λ 2 v 2 -   λ 1 a 2 I v 2 = 0 →

→ a 2 λ 2 - λ 1 v 2 = 0 → a 2 = 0

E da mesma forma para a 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar as matrizes das rotações em R 2 que admitem valores e vetores próprios.Determinar os valores e os vetores próprios das rotações referidas em (a).
Determinar o operador linear T : R 2 → R 2 cujos valores próprios são λ 1 = 1 e λ 2 = 3 associados aos vetores próprios v 1 = ( y ,- y ) e v 2 = ( 0 ,y ) , respectivamente.
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) ⎜1 1 ⎜⎜ ⎜ ⎜1 1 ⎜⎜ ⎜b) ⎜1 - 1 ⎜⎜ ⎜ ⎜24
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:(d) ⎜100 ⎜⎜ ⎜ ⎜ - 1 30⎜⎜ ⎜ ⎜32- 2⎜⎜ ⎜(e)
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T x = A X , para todo x ∈ R n , para cada matriz:a) 1 1 1 1