Enunciado

Consideremos a seguinte base do R 3 :

B = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   4

Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Bora lá, aqui é aplicação do processo, bem direta! O primeiro vetor da base ortonormalizada é o primeiro vetor dividido pelo módulo dele

w 1 = v 1 v 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) 1 2 + 1 2 = 1 2 ,   0 , 1 2

Passo 2

O próximo vetor vai ser:

v 2 = x 2 - x 2 ⋅ v 1 v 1 v 1 2

v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 - 1 ,   0 ,   - 1 ⋅ 1 ,   0 ,   1 1 ,   0 ,   1 1 2 + 1 2

v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 - 0 2 ( 1 ,   0 ,   1 )

v 2 = 1 ,   0 ,   - 1

E dividindo pelo módulo:

w 2 = v 2 v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 1 2 + - 1 2

w 2 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Passo 3

O terceiro e último vetor vai ser:

v 3 = x 3 - x 3 ⋅ v 2 v 2 v 2 2 - x 3 ⋅ v 1 v 1 v 1 2

v 3 = 0 ,   3 ,   4 - 0 ,   3 ,   4 ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   - 1 1 2 + - 1 2 - 0 ,   3 ,   4 ⋅ 1 ,   0 ,   1 1 ,   0 ,   1 1 2 + - 1 2

v 3 = 0,3 , 4 - - 4 2 1,0 , - 1 - 4 2 1,0 , 1 = 0,3 , 4 + 2 ,   0 , - 2 - 2,0 , 2

v 3 = 0 ,   3 ,   0

E dividindo pelo módulo:

w 3 = v 3 v 3 = 0 ,   3 ,   0 0 2 + 3 2 + 0 2

w 3 = 0,1 , 0

w 3 = 0 , 1 , 0

A nossa base ortonormal é então:

w 1 , w 2 , w 3 = 1 2 ,   0 , 1 2 , 1 2 ,   0 ,   - 1 2 , 0,1 , 0    

Resposta

w 1 , w 2 , w 3 = 1 2 ,   0 , 1 2 , 1 2 ,   0 ,   - 1 2 , 0,1 , 0    

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13. Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano e seja u = - 1,1 , 0,2 . Determine se o vetor u é ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores w 1 = ( 1 , - 1,3 , 0 ) e w 2 = 4,0 , 9,2 .
12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados.(a) u = ( - 2,1 ) e v = ( 1,0 ) , usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1.(b) U = - 1 2 6 1 e
15. (a) Seja W o plano em R 3 de equação x - 2 y - 3 z = 0 . Obtenha equações paramétricas de W ⊥ .(b) Seja W a reta em R 3 de equações paramétricas x = 2 t ; y = - 5 t ; z = 4 t Obtenha uma equação d
6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,