Mínimos Quadrados e Reflexões

Teoria Completa

Como esperado, também podemos resolver problemas de reflexão usando o método dos Mínimos Quadrados. E a melhor parte é que usamos o resultado da projeção! Então não precisamos fazer contas extras. Devemos isso tudo ao lema abaixo:

Se multiplicarmos ambos os lados da igualdade pelo vetor b que desejamos refletir teremos:

R H b = 2 P H b - b

Toma um desenho pra ajudar a visualizar:

Então para acharmos a reflexão de b em torno de H , basta multiplicarmos a projeção de b em H por 2 e subtrairmos de b . Bem simples né? Vamos ver um exemplo:

Determine R H b se b = 3,0 , 0 e H = s p a n 1 2 1 , 3 2 3

Definimos A = 1 3 2 2 1 3 e resolvemos:

A T A z = 1 2 1 3 2 3 1 3 2 2 1 3 z = 1 2 1 3 2 3 3 0 0 = A T b

6 10 10 22 z = 3 9

6 10 10 22 3 9 → e s c a l o n a n d o 6 10 0 16 3 3 4 ⇒ x = - 3 4 ⇒ y = 3 4

Temos que z = - 3 4 , 3 4 , logo:

P H b = A z = 1 3 2 2 1 3 - 3 4 3 4 = 3 2 0 3 2

R H b = 2 P H b - b = 2 3 2 0 3 2 - 3 0 0 = 0 0 3

Obtendo a matriz Reflexão

Pelo lema que acabamos de ver temos que

R H = 2 P H - I

Se multiplicarmos ambos os lados, como vimos, temos uma ferramenta poderosa para encontrarmos a reflexão de um vetor. Mas se mantivermos nessa forma, temos como obter a matriz reflexão diretamente da matriz projeção. Basta adaptarmos as fórmulas que vimos em projeção. Por exemplo, a reflexão em torno de um subespaço de dimensão 1 gerado por um vetor v :

R v = 2 P v - I = 2 v v T v T v - I

Exemplo: Dê a matriz reflexão na reta 2 x - y = 0 do R 2 .

Blz, vamos achar o vetor gerador da reta pra botar na fórmula:

2 x - y = 0 ⟹ 2 x = y

x , y = x , 2 x = x 1,2

R v = 2 v v T v T v - I = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 0 0 1

R v = 2 1 2 2 4 5 - 1 0 0 1 = - 3 5 4 5 4 5 3 5

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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.2 Adaptado

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , reflexão em torno da reta 2 x - 4 y = 0

b   n = 2 , reflexão em torno da reta y = 3 x

c   n = 3 , reflexão em torno do plano x - y + z = 0

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Passo 1

a É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta 2 x - 4 y = 0 . Primeiro vamos achar o vetor gerador da reta. Temos:

2 x = 4 y ⇒ x = 2 y

Logo os vetores da reta são da forma 2 y , y . Portanto, um vetor gerador possível é o 2,1

A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor v é dada por:

P v = v v T v T v = 2 1 2 1 2 1 2 1 = 4 2 2 1 5 = 4 5 2 5 2 5 1 5

Para acharmos a matriz rotação R basta fazermos:

R = 2 P - I

R = 2 4 5 2 5 2 5 1 5 - 1 0 0 1 = 8 5 4 5 4 5 2 5 - 1 0 0 1 = 3 5 4 5 4 5 - 3 5 = 1 5 3 4 4 - 3

Passo 2

b Agora precisamos da matriz que representa a projeção sobre a reta y = 3 x . Novamente, vamos achar o vetor que gera ela:

x , 3 x = x 1,3

A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor v é dada por:

P v = v v T v T v = 1 3 1 3 1 3 1 3 = 1 3 3 9 10 = 1 10 3 10 3 10 9 10

Para acharmos a matriz rotação R basta fazermos:

R = 2 P - I

R = 2 1 10 3 10 3 10 9 10 - 1 0 0 1 = 1 5 3 5 3 5 9 5 - 1 0 0 1 = - 4 5 3 5 3 5 4 5 = 1 5 - 4 3 3 4  

Passo 3

c Queremos a reflexão em torno de um plano no R 3 . O que vamos fazer é o seguinte: Primeiro encontramos a matriz projeção no complemento ortogonal do plano. Com essa matriz em mãos encontramos a que faz a projeção no plano. Por fim, encontramos a matriz que reflete pelo plano.

Se não entendeu direito fica calmo que vai ficar claro no caminho haha. Primeiro, vamos encontrar o complemento ortogonal do plano.

Sabemos que ele é uma reta gerada por um vetor ortogonal ao plano. Este pode ser obtido pelos coeficientes da equação do plano:

x - y + z = 0

1 , - 1,1

A matriz que projeta sobre esta reta é dada por:

P v = v v T v T v = 1 - 1 1 [ 1 - 1 1 ] [ 1 - 1 1 ] 1 - 1 1 = 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 3 = 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3

Passo 4

O próximo passo é encontrar P H que projeta o vetor sobre o plano. Ela é dada por:

P H = I - P v

P H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 = 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3

Passo 5

Finalmente, podemos encontrar R H :

R H = 2 P H - I

R H = 2 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 4 3 2 3 - 2 3 2 3 4 3 2 3 - 2 3 2 3 4 3 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

R H = 1 3 2 3 - 2 3 2 3 1 3 2 3 - 2 3 2 3 1 3 = 1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Resposta

a 1 5 3 4 4 - 3

b   1 5 - 4 3 3 4

c   1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 163 – Prob 5.9

Sejam H = s p a n 1 3 0 1 , 3 3 - 1 - 1 , 3 0 3 - 3 e v = 7 1 3 1 . Calcule R H v .

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Passo 1

Definimos A = 1 3 3 3 3 0 0 - 1 3 1 - 1 - 3

Agora resolvemos o sistema:

A T A z = 1 3 0 1 3 3 - 1 - 1 3 0 3 - 3 1 3 3 3 3 0 0 - 1 3 1 - 1 - 3 z = 1 3 0 1 3 3 - 1 - 1 3 0 3 - 3 7 1 3 1 = A T v

11 11 0 11 20 9 0 9 27 z = 11 20 27

11 11 0 11 20 9 0 9 27 11 20 27 → L 2 ← L 2 - L 1 11 11 0 0 9 9 0 9 27 11 9 27 → L 3 ← L 3 - L 2 11 11 0 0 9 9 0 0 18 11 9 18 ⇒ x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ z = 1