Reflexão Ortogonal

Teoria Completa

Já aprendemos a projetar vetores em um espaço. O próximo passo naturalmente será vermos como refletir um vetor em torno de um espaço qualquer.

Novamente, vamos ficar na parte matemática da coisa, tentando imaginar ou visualizar o mínimo possível. Essa preparação é essencial, pois se você se encontrar com um problema acima do R 3 tentar visualizar não valerá de nada.

Encontrando a TL da Reflexão

Novamente, vamos ver o que acontece com um vetor pertencente à V , o plano x y , reflexionado em torno de V , e um vetor pertencente ao seu complemento ortogonal reflexionado em torno de V .

Observe a figura:

Veja que se pegarmos um vetor pertencente à V e o refletirmos em torno de V , dará o próprio vetor (pense como se fosse um espelho!). Agora, se pegarmos um pertence ao complemento ortogonal, é só você inverter seu sentido!

Assim, vamos usar a mesma ideia da projeção. Fica muito intuitivo de entender isso no R 3 , mas vamos generalizar para todos os espaços com uma transformação linear e nossa transformação fica assim:

Obs: Para montar a T L reflexão, é só fazer a mesma coisa que sempre fizemos, defina uma base pro domínio, aplique em cada um dos vetores... No caso da reflexão e da projeção é muito fácil achar a imagem dos vetores da sua base, pois basta definir a base com os vetores de V e V ⊥ , e juntar para ter a do R n !

O procedimento será quase idêntico ao que usávamos na projeção, mas vamos ver um exemplo.

Vamos calcular a T L que reflete um vetor do R 2 em torno da reta x - 2 y = 0 .

Passo 1: Encontrar uma base para o espaço em torno do qual se quer refletir e para seu complemento ortogonal.

Pela equação da reta temos:

x = 2 y

Logo, o vetor genérico é dado por 2 y , y = y 2,1 . Então uma base para esse subespaço seria:

2,1

O complemento ortogonal será a reta perpendicular à essa, e tem como base:

- 1,2

Com isso, chegamos à base do R 2 :

2,1 , - 1,2

Qualquer vetor x , y do R 2 pode então ser escrito como:

x , y = a 2,1 + b - 1,2

Passo 2: A imagem da base do espaço em torno do qual se quer refletir, será a própria base. A imagem da base do complemento ortogonal será o vetor com o sentido trocado.

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade e usando do fato acima temos:

T x , y = a T 2,1 + b T - 1,2

T x , y = a 2,1 + b 1 , - 2

Passo 3: Para encontrarmos a equação da T L precisamos dos valores de a e b . Então:

x , y = a 2,1 + b - 1,2

x = 2 a - b y = a + 2 b

Resolvendo o sistema, temos:

a = 2 x + y 5

b = - x + 2 y 5

Passo 4: Substituímos na equação da T L :

T x , y = 2 x + y 5 2,1 + - x + 2 y 5 1 , - 2

T x , y = 3 x + 4 y 5 , 4 x - 3 y 5

E temos nossa T L .

Matriz que representa a T L

Novamente, nenhum mistério para achar a matriz da T L acima. Basta separarmos ela:

T x , y = 3 x + 4 y 5 4 x - 3 y 5 = 3 5 4 5 4 5 - 3 5 x y

Logo, nossa matriz é:

T = 3 5 4 5 4 5 - 3 5

Essa matriz como já vimos lá em projeção está na base canônica. Analogamente se quisermos T β , onde β é a base formada pela base do subespaço em torno do qual estamos refletindo e pela base de seu complemento ortogonal, teremos:

1 0 0 - 1

Note que novamente temos uma matriz diagonal. Perceba também que o primeiro vetor da base tem como imagem ele mesmo, daí o número 1 como primeiro valor na diagonal. Já o segundo vetor da base tem como imagem ele mesmo com o sentido invertido, então temos o - 1 como segundo valor na diagonal.

Bizus

Assim como na matriz projeção, eu tenho uns bizus muito bons pra passar pra vocês sobre a matriz reflexão!

A inversa da matriz reflexão será sempre ela mesma!! Se pensarmos bem até que faz algum sentido não acha?

Se você reflete um vetor em torno de um espaço, e depois reflete de novo em torno do mesmo espaço, você têm que obter o mesmo vetor né!

E disso temos outra aplicação. Se você tiver uma memória muito poderosa deve se lembrar de quando eu falei lá atrás em matrizes ortogonais. Lá eu falei que toda matriz reflexão é ortogonal, ou seja, possui a inversa igual à transposta.

E como sabemos que uma matriz reflexão é igual a sua inversa, chegamos à conclusão de que ela também é igual à sua transposta!!!!

Então temos que se R H é uma matriz reflexão qualquer,

R H = R H T = R H - 1

E por fim, assim como para a matriz projeção, também temos uma relação entre o traço da matriz e o espaço no qual estamos projetando! Só que aqui a relação é beeeem mais bizarra. Bom, se você pega o traço de uma matriz reflexão, soma a dimensão do domínio da matriz e divide esse valor por 2 , você vai ter a dimensão do espaço em torno do qual ela reflete :p

Por exemplo, se for uma reflexão no R 3 e o traço da matriz é - 1 , temos: - 1 + dim ⁡ R 3 2 = 2 2 = 1

Ou seja, ela reflete por uma reta! Não acho que seja interessante explicar o motivo disso, mas ta aí né haha.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , reflexão em torno da reta 2 x - 3 y = 0

b   n = 3 , reflexão em torno do plano x - y + z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a reflexão em torno da reta 2 x - 3 y = 0 . Primeiro vamos achar o vetor gerador da reta. Temos:

2 x = 3 y ⇒ x = 3 y 2

Logo os vetores da reta são da forma

3 y 2 , y = y 3 2 , 1

Portanto, um vetor gerador possível é o 3,2

O complemento ortogonal dessa reta é o subespaço gerado pelo vetor - 2,3

Com isso, chegamos à base do R 2 :

3,2 , - 2,3

Qualquer vetor x , y do R 2 pode então ser escrito como:

x , y = a 3,2 + b - 2,3

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade:

T x , y = a T 3,2 + b T - 2,3

T x , y = a 3,2 + b 2 , - 3

Passo 2

Agora precisamos encontrar a e b em função de x e y :

x , y = a 3,2 + b - 2,3

x = 3 a - 2 b y = 2 a + 3 b       I I I

Fazemos 3 I + 2 I I :

3 x + 2 y = 9 a - 6 b + 4 a + 6 b

3 x + 2 y = 13 a

a = 3 x + 2 y 13

Substituindo em I :

x = 9 x + 6 y 13 - 2 b

2 b = - 4 x + 6 y 13

b = - 2 x + 3 y 13

Passo 3

Substituindo na equação da T L :

T x , y = 3 x + 2 y 13 3,2 + - 2 x + 3 y 13 2 , - 3

T x , y = 5 x + 1 2 y 13 , 12 x - 5 y 13

Abrindo a T L , temos:

T x , y = 5 x + 12 y 13 12 x - 5 y 13 = 1 13 5 12 12 - 5 x y

Logo, a matriz é dada por:

T = 1 13 5 12 12 - 5

Passo 4

b Agora precisamos da matriz que representa reflexão em torno do plano x - y + z = 0 . Os vetores desse plano obedecem a seguinte restrição:

x - y + z = 0 ⇒ y = x + z

O vetor genérico desse plano tem a forma:

x , x + z , z = x 1,1 , 0 + z 0,1 , 1

Uma base para ele seria então:

1,1 , 0 , 0,1 , 1