Reflexão Ortogonal

Teoria Completa

Já aprendemos a projetar vetores em um espaço. O próximo passo naturalmente será vermos como refletir um vetor em torno de um espaço qualquer.

Novamente, vamos ficar na parte matemática da coisa, tentando imaginar ou visualizar o mínimo possível. Essa preparação é essencial, pois se você se encontrar com um problema acima do R 3 tentar visualizar não valerá de nada.

Encontrando a TL da Reflexão

Novamente, vamos ver o que acontece com um vetor pertencente à V , o plano x y , reflexionado em torno de V , e um vetor pertencente ao seu complemento ortogonal reflexionado em torno de V .

Observe a figura:

Veja que se pegarmos um vetor pertencente à V e o refletirmos em torno de V , dará o próprio vetor (pense como se fosse um espelho!). Agora, se pegarmos um pertence ao complemento ortogonal, é só você inverter seu sentido!

Assim, vamos usar a mesma ideia da projeção. Fica muito intuitivo de entender isso no R 3 , mas vamos generalizar para todos os espaços com uma transformação linear e nossa transformação fica assim:

Obs: Para montar a T L reflexão, é só fazer a mesma coisa que sempre fizemos, defina uma base pro domínio, aplique em cada um dos vetores... No caso da reflexão e da projeção é muito fácil achar a imagem dos vetores da sua base, pois basta definir a base com os vetores de V e V ⊥ , e juntar para ter a do R n !

O procedimento será quase idêntico ao que usávamos na projeção, mas vamos ver um exemplo.

Vamos calcular a T L que reflete um vetor do R 2 em torno da reta x - 2 y = 0 .

Passo 1: Encontrar uma base para o espaço em torno do qual se quer refletir e para seu complemento ortogonal.

Pela equação da reta temos:

x = 2 y

Logo, o vetor genérico é dado por 2 y , y = y 2,1 . Então uma base para esse subespaço seria:

2,1

O complemento ortogonal será a reta perpendicular à essa, e tem como base:

- 1,2

Com isso, chegamos à base do R 2 :

2,1 , - 1,2

Qualquer vetor x , y do R 2 pode então ser escrito como:

x , y = a 2,1 + b - 1,2

Passo 2: A imagem da base do espaço em torno do qual se quer refletir, será a própria base. A imagem da base do complemento ortogonal será o vetor com o sentido trocado.

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade e usando do fato acima temos:

T x , y = a T 2,1 + b T - 1,2

T x , y = a 2,1 + b 1 , - 2

Passo 3: Para encontrarmos a equação da T L precisamos dos valores de a e b . Então:

x , y = a 2,1 + b - 1,2

x = 2 a - b y = a + 2 b

Resolvendo o sistema, temos:

a = 2 x + y 5

b = - x + 2 y 5

Passo 4: Substituímos na equação da T L :

T x , y = 2 x + y 5 2,1 + - x + 2 y 5 1 , - 2

T x , y = 3 x + 4 y 5 , 4 x - 3 y 5

E temos nossa T L .

Matriz que representa a T L

Novamente, nenhum mistério para achar a matriz da T L acima. Basta separarmos ela:

T x , y = 3 x + 4 y 5 4 x - 3 y 5 = 3 5 4 5 4 5 - 3 5 x y

Logo, nossa matriz é:

T = 3 5 4 5 4 5 - 3 5

Essa matriz como já vimos lá em projeção está na base canônica. Analogamente se quisermos T β , onde β é a base formada pela base do subespaço em torno do qual estamos refletindo e pela base de seu complemento ortogonal, teremos:

1 0 0 - 1

Note que novamente temos uma matriz diagonal. Perceba também que o primeiro vetor da base tem como imagem ele mesmo, daí o número 1 como primeiro valor na diagonal. Já o segundo vetor da base tem como imagem ele mesmo com o sentido invertido, então temos o - 1 como segundo valor na diagonal.

Bizus

Assim como na matriz projeção, eu tenho uns bizus muito bons pra passar pra vocês sobre a matriz reflexão!

A inversa da matriz reflexão será sempre ela mesma!! Se pensarmos bem até que faz algum sentido não acha?

Se você reflete um vetor em torno de um espaço, e depois reflete de novo em torno do mesmo espaço, você têm que obter o mesmo vetor né!

E disso temos outra aplicação. Se você tiver uma memória muito poderosa deve se lembrar de quando eu falei lá atrás em matrizes ortogonais. Lá eu falei que toda matriz reflexão é ortogonal, ou seja, possui a inversa igual à transposta.

E como sabemos que uma matriz reflexão é igual a sua inversa, chegamos à conclusão de que ela também é igual à sua transposta!!!!

Então temos que se R H é uma matriz reflexão qualquer,

R H = R H T = R H - 1

E por fim, assim como para a matriz projeção, também temos uma relação entre o traço da matriz e o espaço no qual estamos projetando! Só que aqui a relação é beeeem mais bizarra. Bom, se você pega o traço de uma matriz reflexão, soma a dimensão do domínio da matriz e divide esse valor por 2 , você vai ter a dimensão do espaço em torno do qual ela reflete :p

Por exemplo, se for uma reflexão no R 3 e o traço da matriz é - 1 , temos: - 1 + dim ⁡ R 3 2 = 2 2 = 1

Ou seja, ela reflete por uma reta! Não acho que seja interessante explicar o motivo disso, mas ta aí né haha.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , reflexão em torno da reta 2 x - 3 y = 0

b   n = 3 , reflexão em torno do plano x - y + z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a reflexão em torno da reta 2 x - 3 y = 0 . Primeiro vamos achar o vetor gerador da reta. Temos:

2 x = 3 y ⇒ x = 3 y 2

Logo os vetores da reta são da forma

3 y 2 , y = y 3 2 , 1

Portanto, um vetor gerador possível é o 3,2

O complemento ortogonal dessa reta é o subespaço gerado pelo vetor - 2,3

Com isso, chegamos à base do R 2 :

3,2 , - 2,3

Qualquer vetor x , y do R 2 pode então ser escrito como:

x , y = a 3,2 + b - 2,3

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade:

T x , y = a T 3,2 + b T - 2,3

T x , y = a 3,2 + b 2 , - 3

Passo 2

Agora precisamos encontrar a e b em função de x e y :

x , y = a 3,2 + b - 2,3

x = 3 a - 2 b y = 2 a + 3 b       I I I

Fazemos 3 I + 2 I I :

3 x + 2 y = 9 a - 6 b + 4 a + 6 b

3 x + 2 y = 13 a

a = 3 x + 2 y 13

Substituindo em I :

x = 9 x + 6 y 13 - 2 b

2 b = - 4 x + 6 y 13

b = - 2 x + 3 y 13

Passo 3

Substituindo na equação da T L :

T x , y = 3 x + 2 y 13 3,2 + - 2 x + 3 y 13 2 , - 3

T x , y = 5 x + 1 2 y 13 , 12 x - 5 y 13

Abrindo a T L , temos:

T x , y = 5 x + 12 y 13 12 x - 5 y 13 = 1 13 5 12 12 - 5 x y

Logo, a matriz é dada por:

T = 1 13 5 12 12 - 5

Passo 4

b Agora precisamos da matriz que representa reflexão em torno do plano x - y + z = 0 . Os vetores desse plano obedecem a seguinte restrição:

x - y + z = 0 ⇒ y = x + z

O vetor genérico desse plano tem a forma:

x , x + z , z = x 1,1 , 0 + z 0,1 , 1

Uma base para ele seria então:

1,1 , 0 , 0,1 , 1

Onde:

R 1,1 , 0 = 1,1 , 0

R 0,1 , 1 = 0,1 , 1

Seu complemento ortogonal é a reta cujo gerador pode ser dado pela equação do plano:

x - y + z = 0

1 , - 1,1

Onde

R 1 , - 1,1 = - 1,1 , - 1

Temos então uma base para o R 3 :

1,1 , 0 , 0,1 , 1 , 1 , - 1,1

Logo,

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1,1

Passo 5

Aplicando a transformação em ambos os lados:

R x , y , z = a R 1,1 , 0 + b R 0,1 , 1 + c R 1 , - 1,1

R x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c - 1 , 1 , - 1

Precisamos descobrir a ,   b e c em função de x , y e z :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1,1

x = a + c y = a + b - c z = b + c       I I I I I I

De I temos que:

a = x - c

De I I I temos que:

b = z - c

Substituindo a e b em I I :

y = x - c + z - c - c

3 c = x - y + z

c = x - y + z 3

Substituindo c em a e em b :

a = x - x - y + z 3

a = 2 x + y - z 3

b = z - x - y + z 3

b = - x + y + 2 z 3

Passo 6

Substituindo na equação da T L :

R x , y , z = 2 x + y - z 3 1,1 , 0 + - x + y + 2 z 3 0,1 , 1 + x - y + z 3 - 1,1 , - 1

R x , y , z = x + 2 y - 2 z 3 , 2 x + y + 2 z 3 , - 2 x + 2 y + z 3

Desmembrando a transformação:

R x , y , z = x + 2 y - 2 z 3 2 x + y + 2 z 3 - 2 x + 2 y + z 3 = 1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1 x y z

Logo, temos que:

R = 1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Resposta

a   1 13 5 12 12 - 5

b   1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Exercício Resolvido #2

Lista2 para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, exercício 10, PUC-rio.

Sejam H ⊂ R n ,   β uma base de H e γ uma base de H ⊥ . Sejam também P H e R H as transformações de projeção e reflexão ortogonal em relação a H respectivamente. Calcule P H σ e R H σ onde σ = β ∪ γ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos definir as bases do enunciado. Vamos chamar β = { u 1 , … , u k } e como γ é base do complemento ortogonal de H , é a continuação direta da base de H , γ = { u k + 1 , … , u n } . E assim nossa base do R n é:

σ = { u 1 , … , u k , u k + 1 , . . , u n }

Passo 2

Pronto! Agora é só montar a matriz, que já estamos acostumados a montar! Vamos fazer primeiro a da projeção.

Vamos aplicar a P H nos vetores da base σ que são de H , e depois os que são de H ⊥ .

Já que β = { u 1 , … , u k } é base de H :

P H u 1 = u 1

P H u k = u k

Já que γ = { u k + 1 , … , u n } é base de H ⊥ :

P H u k + 1 = 0

P H u n = 0

Passo 3

Agora que já temos a imagem dos nossos vetores da base, só falta reescrevê-los na própria base σ . Mas como P H u 1 , … , P H u k pertencem à base σ , a primeira parte da nossa matriz ficará assim:

P H σ = 1 … 0       0 ⋱ ⋮       ⋮ … 1       ⋮ … ⋮       0 … 0      

Agora como o resto deu zero, a nossa matriz vai ficar assim:

P H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ 0 … 0 0 … 0 0 … 0

Passo 4

A mesma ideia vamos aplicar à transformação reflexão. Então, vamos calcular as imagens dos vetores da base do nosso domínio:

R H u 1 = u 1

R H u k = u k

Já que β = { u 1 , … , u k } é base de H .

R H u k + 1 = - u k + 1

R H u n = - u n

Passo 5

Agora observe que os vetores da imagem compõem também a base σ , e assim fica bem fácil de escrever a nossa matriz! Primeiro, vamos fazer a matriz até os vetores da base de H .

P H σ = 1 … 0       0 ⋱ ⋮       ⋮ … 1       ⋮ … ⋮       0 … 0      

Agora vamos fazer até H ⊥ :

R H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ - 1   0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 0   - 1

Resposta

P H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ 0 … 0 0 … 0 0 … 0

R H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ - 1   0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 0   - 1

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