Projeção Ortogonal

Teoria Completa

Opa, nesse capítulo vamos finalmente aprender a projetar vetores em um espaço qualquer que nos interesse. Isso têm diversos usos e aplicações, mas por enquanto vamos focar apenas em como calcular.

Você deve estar pensando, nós vamos usar bastante geometria né?? E se eu não visualizar as coisas??! Na verdade, não vamos fazer nada disso, nada será desenhado ou visualizado, porque não precisa! Só vou desenhar mesmo para ficar bem claro.

Encontrando a TL da Projeção

Podemos projetar e refletir vetores usando transformações lineares. Vamos, então, construir uma transformação que projete o vetor em um espaço vetorial.

Vamos pegar um espaço vetorial V ⊂ R 3 , onde esse V seja o plano x y . Assim, V = s p a n { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 } , e o seu complemento ortogonal é V ⊥ = s p a n 0,0 , 1 . Agora vamos pegar um vetor e projetar sobre V pra ver o que acontece.

Acho que você já deve ter projetado bastante vetores em física né? Mas dessa vez, como eu disse, não vamos usar nada de geometria. Vamos considerar o módulo do vetor v , ‖ v ‖ . É como se fosse apenas um lado de um triangulo retângulo incompleto. Assim, sua projeção em V seria v c o s θ , lembra?

Muito bem, agora vamos usar o vetor u ! Esqueça o vetor v . Assim, como seria a projeção do vetor u em V ??? Pense em módulo primeiro, seria u c o s ( α ) , só que o ângulo que u faz com V é 0 ° ! Então fica P V u = u . c o s ⁡ ( 0 ° ) = u .

E se projetarmos s em V , seria P V s = s . c o s 90 ° = 0 . Repare que s é perpendicular a V ! Meio óbvio né, já que s pertence ao complemento ortogonal de V , haha.

Ahhh pera aí, então toda vez que eu pegar um vetor pertencente à V e projetá-lo em V dará o próprio vetor! E se eu pegar outro pertencente à V ⊥ e projetá-lo em V dará 0 ! SIMMM ISSO VAI ACONTECER SEMPRE! Não só para o R 3 , mas para o R n inteiro!

Assim, podemos expandir esse conceito para os outros espaços, só que acima do R 3 perdemos a noção geométrica, mas continuaremos a calcular mesmo não enxergando. Vamos definir projeção usando transformações lineares:

O que está escrito acima basicamente diz que se um vetor pertence à um espaço vetorial, a projeção dele sobre esse espaço é o próprio vetor. E se pegarmos um outro vetor pertencente ao seu complemento ortogonal e projetarmos ele nesse mesmo espaço, sua projeção dará zero.

OBS: Repare que como R n = V ⊕ V ⊥ , se definirmos uma base para V e V ⊥ temos uma base também para R n . E assim fica fácil de obter as imagens dos vetores dessa base, porque todo mundo de V ⊥ vai zerar, e todo mundo de V serão eles mesmos!

Sabendo a imagem da base do nosso domínio, o R n , fica fácil de montar a sua transformação! Mas pra que eu vou querer achar a expressão da T L ?? Porque com ela você calcula a projeção de TODOS os vetores do seu espaço em cima de V , sem usar cossenos ou senos.

Outro motivo é que você está tendo facilidade aqui porque usamos o plano x y , que é fácil de imaginar. Quando for um plano muito louco, ou algo em um espaço de dimensão maior, essa história de senos e cossenos não vai dar muito certo haha.

Bom, vamos ver um exemplo:

Vamos calcular a T L que projeta um vetor do R 3 sobre o plano x + y - z = 0 .

Passo 1: Encontrar uma base para o espaço onde se quer projetar e para seu complemento ortogonal.

Pela equação do plano temos que z = x + y . Logo, o vetor genérico desse plano tem essa cara:

x , y , x + y = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1

Portanto, uma base para esse subespaço seria:

1,0 , 1 , 0,1 , 1

Quanto ao complemento ortogonal sabemos que é a reta perpendicular ao plano. Sua base pode ser dada pelos coeficientes da equação do plano, sendo assim:

x + y - z = 0

1,1 , - 1

Com isso, chegamos a uma base do R 3 :

β = 1,0 , 1 , 0,1 , 1 , 1,1 , - 1

Sabemos, portanto, que todo vetor x , y , z pode ser escrito em função dessa base:

x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + c 1,1 , - 1

Passo 2: A imagem da base do espaço onde se quer projetar, será a própria base. A imagem da base do complemento ortogonal será zero.

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade e usando do fato acima temos:

T x , y , z = a T 1,0 , 1 + b T 0,1 , 1 + c T 1,1 , - 1

T x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + 0

Passo 3: Para encontrarmos a equação da T L precisamos dos valores de a e b . Repare que c não é mais necessário, já que foi zerado. Então:

x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + c 1,1 , - 1

x = a + c y = b + c z = a + b - c       I I I I I I

Resolvendo o sistema, temos:

a = 2 x - y + z 3

b = - x + 2 y + z 3

Passo 4: Substituímos na equação da T L :

T x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1

T x , y , z = 2 x - y + z 3 1,0 , 1 + - x + 2 y + z 3 0,1 , 1

T x , y , z = 2 x - y + z 3 , - x + 2 y + z 3 , x + y + 2 z 3

E achamos nossa T L ;)

Matriz que representa a T L

Nós já sabemos como achar a matriz a partir de uma T L , mas não custa nada relembrar né. Se quiséssemos achar a matriz dessa T L do exemplo acima, como faríamos? Bom, é só desmembrar a T L :

T x , y , z = 2 x - y + z 3 - x + 2 y + z 3 x + y + 2 z 3 = 2 3 - 1 3 1 3 - 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 x y z

Logo, nossa matriz é:

T = 2 3 - 1 3 1 3 - 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3

Agora vamos falar de algo interessante! Essa é a matriz canônica da nossa T L certo? Podemos aplicar qualquer vetor do R 3 nela.

Mas e se quiséssemos encontrar T β , onde β é a base formada pela base do subespaço onde estamos projetando e pela base de seu complemento ortogonal?

Vamos pensar um pouco. No exemplo que vimos a base β era dada por:

β = 1,0 , 1 , 0,1 , 1 , 1,1 , - 1

Se escrevermos o vetor 1 , 0,1 em função dessa base teríamos o que?

1,0 , 1 = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + c 1,1 , - 1

a = 1 ; b = 0 ; c = 0

Logo,

1,0 , 1 β = 1,0 , 0

Isso é bem óbvio né?

Analogamente, teríamos:

0,1 , 1 β = 0,1 , 0

1,1 , - 1 β = 0,0 , 1

Ta, mas o que deve acontecer se aplicarmos o vetor 1 , 0,1 β em nossa T β ? Bom, deve retornar 1 , 0,1 β pois ele está no plano onde estamos projetando. Seguindo essa lógica, temos que:

T β 1,0 , 0 = 1,0 , 0

T β 0,1 , 0 = 0,1 , 0

T β 0,0 , 1 = 0,0 , 0

Logo,

T β = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Opa, notou alguma coisa? Bom, primeiro de tudo, a matriz será sempre diagonal! E, seguindo a ordem da base, os números da diagonal te dizem o que acontece com ela. Como assim? Vou explicar!

O primeiro vetor da base 1 , 0,1 tem ele mesmo como imagem, então temos um 1 lá em cima. O segundo vetor da base 0 , 1,1 também tem ele mesmo como imagem, então temos um 1 novamente. Já o terceiro vetor 1 , 1 , - 1 tem o 0 como imagem, daí o 0 na matriz ;)

Bizus

Galeraaa, tenho uns bizus muito bons pra vocês aqui! São sobre a matriz projeção! Se liga:

  • A matriz projeção sempre será simétrica!
  • O traço da matriz projeção é a dimensão do espaço no qual ela está projetando!!! No nosso exemplo aí de cima estávamos projetando sobre um plano, então o traço da matriz é 2 .
  • Se A é uma matriz projeção, então A = A 2
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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 e 164 – Prob 5.5 e Ext 5.2

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 t , - t ∈ R 2 ; p a r a   t ∈ R

b   n = 3 , projeção ortogonal sobre o plano x = z

c   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 x - 4 y = 0

d   n = 2 , projeção ortogonal na reta s p a n 0 , - 2

e   n = 4 , projeção ortogonal sobre o plano x - w = 0 y = z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor 2 , - 1 .

Seu complemento ortogonal é dado pela reta gerada pelo vetor 1,2 , logo, definimos a base para o R 2 :

β = 2 , - 1 , 1,2

E temos que:

P 2 , - 1 = 2 , - 1

P 1,2 = 0,0