Exercícios Resolvidos de Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor

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Enunciado

Seja f : R → R uma função derivável até quarta ordem tal que f(0) = 3, f'(0) = −2, f''(0) =2 e f'''(0) = 4. Suponha que f ' ' ' ' x = 1 + 144 x 4

  , para todo x ∈ R. Obtenha uma aproximação com cinco casas decimais para f(1/3) e determine o erro cometido nessa aproximação.

Passo 1

Podemos obter uma aproximação para ( f 1 / 3 ) usando a expansão de Taylor da função ( f x ) em torno de ( x   =   0 ) . A expansão de Taylor de ( f x ) é dada por:

f x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' ' ' ' c 4 ! x 4

onde ( c ) está entre ( 0 ) e ( x ) .

Dadas as informações, temos:

f 0 = 3

f ' 0 = - 2

f ' ' 0 = 2

f ' ' ' 0 = 4

Agora, precisamos calcular ( f ' ' ' ' c ) para algum valor de ( c ) entre ( 0 ) e ( 1 / 3 ) . Usando a fórmula fornecida para ( f ' ' ' ' x ) :

f ' ' ' ' 1 / 3 = 1 + 144 ( 1 / 3 ) 4

Agora, podemos usar a expansão de Taylor para calcular ( f 1 / 3 ) com cinco casas decimais de precisão:

f 1 / 3 ≈ f 0 + f ' 0 ⋅ 1 3 + f ' ' 0 2 ! 1 3 2 + f ' ' ' 0 3 ! 1 3 3 + f ' ' ' ' 1 / 3 4 ! 1 3 4

Passo 2

Substituindo os valores conhecidos:

f 1 / 3 ≈ 3 - 2 ⋅ 1 3 + 2 2 1 3 2 + 4 3 ! 1 3 3 + 1 + 144 ( 1 / 3 ) 4 4 ! 1 3 4

Agora, podemos calcular ( f 1 / 3 ) com cinco casas decimais de precisão:

f 1 / 3 ≈ 2.72631

Agora, para determinar o erro cometido nessa aproximação, podemos usar o teorema do erro de Taylor. O erro ( E ) é dado por:

E = f ' ' ' ' z 5 ! x 5

onde ( z ) está entre ( 0 ) e ( 1 / 3 ) .

Substituindo ( f ' ' ' ' x = 1 + 144 x 4 ) e ( x   =   1 / 3 ) , obtemos:

E = 1 + 144 z 4 5 ! 1 3 5

O maior valor possível de ( 1 + 144 z 4 ) ocorre quando ( z   =   1 / 3 ) , pois a função ( f ' ' ' ' x ) é crescente. Portanto:

E ≤ 1 + 144 1 / 3 4 5 ! 1 3 5

Calculando essa expressão:

E ≤ 145 5 ! 1 3 5

E ≤ 145 120 1 243

Calculando o valor numérico:

E   ≤ 0.0003824

Resposta

f 1 / 3 ≈ 2.72631

E   ≤ 0.0003824