Polinômio de Taylor

Fala aí, nós somos o Responde Aí, e nossa missão é ajudar você a mandar super bem no seu semestre!

Nosso foco nessa página é introduzir o assunto Polinômio de Taylor para você poder entender o contexto antes de aprofundar mais seus estudos. Então bora lá?

O polinômio de Taylor nada mais é que uma forma de pegarmos uma função qualquer e aproximarmos ela por um polinômio ao redor de um certo ponto.

Então, vamos supor que temos a seguinte função:

$$f(x)=\sqrt{x+4}$$

E queremos fazer a aproximação por polinômio de Taylor dela.

A primeira coisa que temos que definir para aproximarmos essa função por um polinômio de Taylor é: qual será o nosso valor central? vamos aproximar essa função por um polinômio em torno de qual ponto?

Chamamos esse valor central de $x_0$ e é bem bem comum usar o $0$ como esse valor. Então vamos usar o $0$ aqui.

A segunda coisa que temos que definir é: queremos aproximar essa função por um polinômio de que ordem? ordem 1? ordem 2? ...

Vamos começar aproximando por um polinômio de ordem 1 (só tem $x$ elevado a $1$ e a $0$) e depois a gente estende para ordens maiores, beleza?

A aproximação por polinîmio de Taylor de ordem $1$ é dada da seguinte maneira:

$$P_1(x)=f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0)$$

Como vamos usar $x_0=0$ temos:

$$P_1(x)=f(0)+f'(0) x$$

Calculando:

$$f(x)=\sqrt{x+4} ~~~~\Longrightarrow~~~~f(0)=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2 $$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}} ~~~~\Longrightarrow~~~~f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0+4}}=\frac{1}{4}=0,25$$

Substituindo na expressão para a proximação por polinômio de Taylor de ordem $1$:

$$P_1(x)=2+0,25~x$$

Beleza, aproximamos para ordem $1$, mas a grande questão é que a aproximação fica cada vez melhor quanto maior a ordem do polinômio de Taylor.

Então, generalizando: Se temos uma função qualquer $f(x)$ e queremos aproximar ela por um polinômio de Taylor de ordem $n$ em torno do ponto $x_0$, vamos usar a seguinte expressão:

$$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\frac{f''''(x_0)}{4!}(x-x_0)^4+.....+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

E é isso aí que temos para falar nessa introdução sobre os Polinômios de Taylor.

Se você quer fixar mais essa introdução ou é daqueles que adora aprender com uma vídeo aula confere esse vídeo aqui feito pela equipe incrível do Responde Aí 👇🏽

Ainda tem muito sobre Polinômio de Taylor para você aprender. Sabia que tem como a gente aproximar uma função com duas ou mais variáveis?

Corre aqui em baixo 👇🏽, confere o Raio-X que preparamos com todo o conteúdo sobre polinômio de Taylor bem organizado em capítulos e tópicos e, assim você pode estudar as partes mais importantes de maneira rápida e lógica. Não perde a oportunidade 😉

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de Polinômio de Taylor, veja abaixo:

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VAMOS AO RAIO-X:

Podemos separar Polinômio de Taylor em 3 partes:

COMO APRENDER TUDO ISSO EM POUCO TEMPO?

O maior erro que você pode cometer é tentar estudar de forma desorganizada, seja procurando vídeos no YouTube, pulando pro caderno, livro do professor ou a famosa xerox. Você acaba perdendo muito tempo e não sente que está realmente avançando.

O segredo é ter um guia, que te diga não só que tópicos estudar e em que ordem, como também te indique bons resumos (em texto ou vídeo) e exercícios selecionados em ordem de dificuldade, com resolução passo a passo.

Comece abaixo com a primeira parte:
1.Polinômio de Taylor de Uma Variável

1. Polinômio de Taylor de Uma Variável

Para aprender Polinômio de Taylor você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

- Polinômio de Taylor para f(x)

- Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

- Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor

Proxima parte de Polinômio de Taylor
2.Polinômio de Taylor de Uma Variável

2. Polinômio de Taylor de Duas Variáveis

Para aprender Polinômio de Taylor você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

Proxima parte de Polinômio de Taylor
3.Polinômio de Taylor de Duas Variáveis

3. Polinômio de Taylor de Três Variáveis

Para aprender Polinômio de Taylor você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

Proxima parte de Polinômio de Taylor
4.Polinômio de Taylor de Três Variáveis

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