Polinômio de Taylor

Resumo

Fala aí, nós somos o Responde Aí, e nossa missão é ajudar você a mandar super bem no seu semestre!

Nosso foco nessa página é introduzir o assunto Polinômio de Taylor para você poder entender o contexto antes de aprofundar mais seus estudos. Então bora lá?

O polinômio de Taylor nada mais é que uma forma de pegarmos uma função qualquer e aproximarmos ela por um polinômio ao redor de um certo ponto.

Então, vamos supor que temos a seguinte função:

$$f(x)=\sqrt{x+4}$$

E queremos fazer a aproximação por polinômio de Taylor dela.

A primeira coisa que temos que definir para aproximarmos essa função por um polinômio de Taylor é: qual será o nosso valor central? vamos aproximar essa função por um polinômio em torno de qual ponto?

Chamamos esse valor central de $x_0$ e é bem bem comum usar o $0$ como esse valor. Então vamos usar o $0$ aqui.

A segunda coisa que temos que definir é: queremos aproximar essa função por um polinômio de que ordem? ordem 1? ordem 2? ...

Vamos começar aproximando por um polinômio de ordem 1 (só tem $x$ elevado a $1$ e a $0$) e depois a gente estende para ordens maiores, beleza?

A aproximação por polinîmio de Taylor de ordem $1$ é dada da seguinte maneira:

$$P_1(x)=f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0)$$

Como vamos usar $x_0=0$ temos:

$$P_1(x)=f(0)+f'(0) x$$

Calculando:

$$f(x)=\sqrt{x+4} ~~~~\Longrightarrow~~~~f(0)=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2 $$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}} ~~~~\Longrightarrow~~~~f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0+4}}=\frac{1}{4}=0,25$$

Substituindo na expressão para a proximação por polinômio de Taylor de ordem $1$:

$$P_1(x)=2+0,25~x$$

Beleza, aproximamos para ordem $1$, mas a grande questão é que a aproximação fica cada vez melhor quanto maior a ordem do polinômio de Taylor.

Então, generalizando: Se temos uma função qualquer $f(x)$ e queremos aproximar ela por um polinômio de Taylor de ordem $n$ em torno do ponto $x_0$, vamos usar a seguinte expressão:

$$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\frac{f''''(x_0)}{4!}(x-x_0)^4+.....+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

E é isso aí que temos para falar nessa introdução sobre os Polinômios de Taylor.

Se você quer fixar mais essa introdução ou é daqueles que adora aprender com uma vídeo aula confere esse vídeo aqui feito pela equipe incrível do Responde Aí 👇🏽

Ainda tem muito sobre Polinômio de Taylor para você aprender. Sabia que tem como a gente aproximar uma função com duas ou mais variáveis?

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Livros Resolvidos

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