Exercícios Resolvidos de Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor

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Enunciado

b ) Use o polinômio do item anterior para estimar

∫ 0 1 / 2 x 10 e 2 x d x

com erro menor que 10 - 5 .

Passo 1

Opaaa...

Já vamos separar, então, o polinômio do item anterior:

P n x = 1 + 2 x + 4 x 2 2 ! + … + 2 n x n n !

E o erro também:

E n x = 2 n + 1 e 2 c x n + 1 n + 1 !

E vamos precisar lembrar que pra resolver essa integral a gente usa:

∫ 0 1 2 x 10 e 2 x d x = ∫ 0 1 2 x 10 P n x d x + ∫ 0 1 2 x 10 E n x d x

MUUITA atenção porque na questão anterior era o polinômio de Taylor de e 2 x e aqui tem esse x 10 na frente, heim??

Passo 2

A primeira coisa que vamos usar é esse erro loucão aí...

A integral do erro fica:

∫ 0 1 2 x 10 E n x d x = ∫ 0 1 2 x 10 2 n + 1 e 2 c x n + 1 n + 1 ! d x

Poo... mas esse c ta pegando, né? Mas repara só que a gente sabe que o c varia de tal forma:

c ∈   ] 0 , x [ ,       x > 0 c ∈   ] x , 0 [ ,       x < 0

Olha lá os limites de integração... Vão de 0 até 1 2 , então é o nosso primeiro caso, né?

c ∈   ] 0 , x [ ,       x > 0

E digo maaais... O x não chega nem em 1 . O limite superior é 1 2 . Então a gente pode dizer que:

2 c < 1

Atenção porque o c varia de 0 a 1 2 . E pode, talvez, surgir a dúvida de que é 2 c , então poderia ser 2 × 1 2 = 1 , mas NÃO poderia não. Os intervalos do c são abertos e por isso podemos dizer que 2 c < 1 .

Uma respiradinha pra continuar, bora??

Passo 3

Como 2 c < 1 , então podemos fazer a aproximação:

∫ 0 1 2 x 10 2 n + 1 e 2 c x n + 1 n + 1 ! d x ≤ ∫ 0 1 2 x 10 2 n + 1 e x n + 1 n + 1 ! d x

Vamos manipular isso (só juntar os x ):

∫ 0 1 2 x 10 2 n + 1 e x n + 1 n + 1 ! d x = ∫ 0 1 2 2 n + 1 e x n + 11 n + 1 ! d x

E resolvendo a integral:

∫ 0 1 2 2 n + 1 e x n + 11 n + 1 ! d x = e 2 n + 1 n + 1 ! x n + 12 n + 12 0 1 2

= 1 2 n + 12 n + 12 e 2 n + 1 n + 1 !

= 1 2 n + 12 n + 12 e 2 n + 1 n + 1 !

= e 2 11 n + 12 n + 1 !

Agoraaaa sim vamos usar o erro que ele deu pra gente.

Como o erro tem que ser menor que 10 - 5 a gente precisa achar um n que seja grande o suficiente para nossa expressão do erro ser menor que 10 - 5 .

Se a gente usar n = 1 fica:

e 2 11 1 + 12 1 + 1 ! = e 2048 × 12 × 2 = e 49152

E isso não é menor que 10 - 5 , né?

Se a gente usar n = 2 fica:

e 2 11 2 + 12 2 + 1 ! = e 2048 × 1 4 × 6 = e 172032

Deu 1,5 × 10 - 5 o que é beeeeemm perto do que a gente quer, né, mas ainda não é menor.

Então a gente já sabe que se fizer do n = 3 vai dar certo e o erro vai dar menor que 10 - 5 .

Prontinho... achamos o n :

n = 3

Passo 4

Vamos que vamos que ta quase acabando...

A aproximação da integral vai ficar:

∫ 0 1 2 x 10 e 2 x d x ≈ ∫ 0 1 2 x 10 P n x d x

= ∫ 0 1 2 x 10 1 + 2 x + 4 x 2 2 ! + 8 x 3 3 ! d x

= ∫ 0 1 2 x 10 + 2 x 11 + 4 x 12 2 ! + 8 x 13 3 ! d x

= x 11 11 + 2 x 12 12 + 4 x 13 13 ⋅ 2 ! + 8 x 14 14 ⋅ 3 ! 0 1 2

= 1 2 11 11 + 2 1 2 12 12 + 4 1 2 13 13 ⋅ 2 ! + 8 1 2 14 14 ⋅ 3 !

= 1 2 11 ⋅ 11 + 2 2 12 ⋅ 12 + 4 2 13 ⋅ 13 ⋅ 2 ! + 8 2 14 ⋅ 14 ⋅ 3 !

Com erro menor que 10 - 5 .

Ufaaa... acabamos. A resposta é feinha, mas é essa mesmo, tá?

Resposta

1 2 11 ⋅ 11 + 2 2 12 ⋅ 12 + 4 2 13 ⋅ 13 ⋅ 2 ! + 8 2 14 ⋅ 14 ⋅ 3 ! com erro menor que 10 - 5 .