Exercícios Resolvidos de Aproximação Quadrática de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

f x , y , z = x 2 + 2 x y + 2 y z + z 2 + 10

E a superfície de nível

S = x , y , z ∈ R 3     f x , y , z = 11 }

b) Escreva a aproximação quadrática Q x , y , z da função f x , y , z no ponto 0,0 , 0 .

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Vamos classificar todos os pontos críticos da função:

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos.

Para isso, calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para a função f em questão, temos:

∇ f x , y , z = 2 x + 2 y , 2 x + 2 z , 2 y + 2 z

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ 2 x + 2 y , 2 x + 2 z , 2 y + 2 z = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

2 x + 2 y = 0 2 x + 2 z = 0 2 y + 2 z = 0

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira, vamos encontrar: y = z . E substituindo esse resultado na terceira equação, concluímos que z = 0 . Logo, y = 0 , e então x = 0 .

Assim, o único ponto crítico é ( 0,0 , 0 ) . E pra classificá-lo, os autovalores da matriz Hessiana de f avaliada no ponto que queremos classificar. Ou seja, queremos achar H f ( 0,0 , 0 ) .

Passo 5

E pra achar seus autovalores, construímos o polinômio característico de H f ( 0,0 , 0 ) :

λ λ - 2 2   - 8 ( λ - 2 )   =   0

( λ - 2 ) ( λ   +   2 ) ( λ - 4 )   = 0

E então, encontramos autovalores iguais a 2 ,   - 2 e 4 . E com dois autovalores positivos e um negativo, concluímos que o ponto ( 0,0 , 0 ) é um ponto de sela.

Passo 6

A aproximação quadrática Q ( x , y , z ) no ponto ( 0,0 , 0 ) será dada por:

Q x , y , z =   f 0,0 , 0 + ∇ f 0,0 , 0 · x , y , z + 1 2 x y z   H f 0,0 , 0   x y z

Precisamos achar o gradiente e a Matriz Hessiana de f em 0,0 , 0

Passo 7

Para isso, calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para a função f em questão, temos:

∇ f x , y , z = 2 x + 2 y , 2 x + 2 z , 2 y + 2 z

Substituindo o ponto 0,0 , 0

∇ f 0,0 , 0 = 0,0 , 0

Passo 8

Agora vamos achar a Matriz Hessiana. Ela vai ser

H f = f x x f x y f x z f x y f y y f y z f x z f y z f z z

Lembrando que precisamos achar essa Hessiana, no ponto 0,0 , 0

Temos

f x x   =   2

f y y = 0

f z z = 2

f x y = 2

f x z = 0

f y z = 2

A matriz Hessiana será:

H f = 2 2 0 2 0 2 0 2 2

Isso independente do valor de x , y e z

Assim

H f 0,0 , 0 = 2 2 0 2 0 2 0 2 2

Passo 9

Agora, vamos pegar o que achamos e substituir na fórmula da aproximação quadrática

Q x , y , z = 10 + 1 2 x y z 2 2 0 2 0 2 0 2 2 x y z = x 2 + 2 x y + 2 y z + z 2 + 10 = f ( x , y , z )

Resposta

Q x , y , z = x 2 + 2 x y + 2 y z + z 2 + 10

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