Aproximação Quadrática de uma Função de Várias Variáveis

Teoria Completa

Aproximação Quadráticas de uma função

Fala,galera. Já estudamos aproximações lineares para funções de uma variável e de várias variáveis. Mas e se eu não quiser uma aproximação linear, se eu quiser uma aproximação quadrática? Ué, pode isso? Claro que sim! E nós vamos ver como se faz!

Lá em aproximação linear vimos que , para funções de uma variável, nós fazíamos a aproximação pela reta tangente.

Isso faz total sentido se pensarmos que em um ponto bem próximo a reta tangente, o valor dessa reta se confunde com o da própria função. Já para funções de várias variáveis, a aproximação se dava pelo plano tangente.

Mas como eu faço no caso de aproximações quadráticas ??? Bom, no caso de funções de uma variável a aproximação será por uma parábola, enquanto que em funções de várias variáveis ocorre por meio de um paraboloide. Calma que vamos ver passo a passo como se faz isso.

Cálculo: Função de uma variável

Como já adiantamos acima, a aproximação de uma função f x nas proximidades de x = x 0 será feita através de uma parábola y x = a x 2 + b x + c . Graficamente temos:

Agora, o nosso trabalho é encontrar os coeficientes dessa parábola. Para que seja uma boa aproximação, a parábola y x deve atender a alguns requisitos:

  • O valor de f x 0 deve ser igual ao da parábola nesse ponto. Ou seja:
  • y x 0 = f x 0

    O que nos leva a:

    a x 0 2 + b x 0 + c = f x 0   i

  • O valor da derivada primeira da função, deve ser igual ao valor da derivada primeira da parábola naquele ponto. Ou seja:
  • y ' x 0 = f ' ( x 0 )

    O que implica em:

    2 a x 0 + b = f ' x 0   i i

  • O valor da derivada segunda da função, deve ser igual ao valor da derivada segunda da parábola naquele ponto. Ou seja:
  • y " x 0 = f " x 0

    O que resulta em:

    2 a = f " x 0   ( i i i )  

    Agora podemos manipular essas equações a fim de encontrar os coeficientes da parábola . Vamos começar por a :

    Da equação i i i temos:

    a = f " x 0 2      

    Vamos encontrar b . Da equação i i temos:

    b = f ' x 0 - 2 a x 0

    Substituindo o valor de a temos:

    b = f ' x 0 - f " x 0 x 0

    Vamos encontrar c . Da equação i temos:

    c = f x 0 - a x 0 2 - b x 0

    Substituindo os valores de a e b temos:

    c = f x 0 - f " x 0 2   x 0 2 - f ' x 0 x 0 + f " x 0 x 0 2  

    Ajeitando:

    c = f x 0 - f ' x 0 x 0 + f " x 0 2   x 0 2

    Beleza! Já temos os coeficientes da parábola, agora é só substituir e encontrar sua equação. Vai ficar assim:

    y x = a x 2 + b x + c

    Substituindo

    y x = f " x 0 2 x 2 + f ' x 0 x - f " x 0 x 0   x + f x 0 - f ' x 0 x 0 + f " x 0 2   x 0 2

    Ajeitando, finalmente temos:

    y x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f " x 0 2 x - x 0 2

    Portanto, essa é a equação da parábola que melhor se ajusta a função f x nas proximidades de x = x 0 .

    Cálculo: Função de várias variáveis

    Como já dito, a aproximação quadrática de uma função f x , y nas proximidades de x , y = x 0 , y 0 será feita através do paraboloide z ( x , y ) = a + b x + c y + d x 2 + e y 2 + g x y , Com a , b , c , d , e , g sendo constantes,pois essa equação expressa um paraboloide qualquer.

    Agora, o nosso trabalho é encontrar os coeficientes desse paraboloide. Para que seja uma boa aproximação, o paraboloide z deve atender a alguns requisitos:

  • O valor de f x 0 , y 0 deve ser igual ao do paráboloide nesse ponto. Ou seja:
  • z x 0 , y 0 = f x 0 , y 0

    O que nos leva a:

    a + b x 0 + c y 0 + d x 0 2 + e y 0 2 + g x 0 y 0 = f x 0 , y 0   i v

  • O valor das derivadas primeiras da função, deve ser igual ao valor das derivadas primeiras do paraboloide naquele ponto. Ou seja:
  • z x x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0

    z y x 0 , y 0 = f y x 0 , y 0  

    O que implica em:

    b + 2 d x 0 + g y 0 = f x x 0 , y 0   v

    c + 2 e y 0 + g x 0 = f y x 0 , y 0   v i  

  • O valor das derivadas segundas da função, deve ser igual ao valor das derivadas segundas do prabolóide naquele ponto. Ou seja:

z x x x 0 , y 0 = f x x x 0 , y 0  

z x y x 0 , y 0 = f x y x 0 , y 0  

z y y x 0 , y 0 = f y y x 0 , y 0  

z y x x 0 , y 0 = f y x x 0 , y 0  

O que resulta em:

2 d = f x x x 0 , y 0   ( v i i )  

g = f x y x 0 , y 0   v i i i

2 e = f y y x 0 , y 0   i x

g = f y x x 0 , y 0

Obs.: Repare que f y x x 0 , y 0 = f x y x 0 , y 0 = g , portanto toda a análise que será feita a seguir só srve para funções que obedeçam o teorema de Clairaut f x y = f y x .

Agora podemos manipular essas equações a fim de encontrar os coeficientes do parabolóide. Da equação v i i i temos:

g = f x y x 0 , y 0

Da equação i x :

e = f y y x 0 , y 0 2

Da equação ( v i i ) :

d = f x x x 0 , y 0 2

Da equação v :

b = f x x 0 , y 0 - 2 d x 0 - g y 0

b = f x x 0 , y 0 - f x x x 0 , y 0 x 0 - f x y x 0 , y 0 y 0

Da equação v i :

c = f y x 0 , y 0 - 2 e y 0 - g x 0

c = f y x 0 , y 0 - f y y x 0 , y 0 y 0 - f x y x 0 , y 0 x 0

Da equação i v :

a = f x 0 , y 0 - b x 0 - c y 0 - d x 0 2 - e y 0 2 - g x 0 y 0

a = f x 0 , y 0 - ( f x x 0 , y 0 - f x x x 0 , y 0 x 0 - f x y x 0 , y 0 y 0 ) x 0 - f y x 0 , y 0 - f y y x 0 , y 0 y 0 - f x y x 0 , y 0 x 0 y 0 - f x x x 0 , y 0 2 x 0 2 - f y y x 0 , y 0 2 y 0 2 - f x y x 0 , y 0 x 0 y 0

Ajeitando chegamos a:

a = f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 x 0 - f y x 0 , y 0 y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x 0 + y 0 - x 0 y 0  

Esse ficou grande. Calma que ta acabando. Agora, a ideia é pegar os coeficientes que encontramos e substituir na equação do paraboloide, encontrando assim sua equação.

Então temos:

z = a + b x + c y + d x 2 + e y 2 + g x y

z = f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 x 0 - f y x 0 , y 0 y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x 0 + y 0 - x 0 y 0 + f x x 0 , y 0 - f x x x 0 , y 0 x 0 - f x y x 0 , y 0 y 0 x + f y x 0 , y 0 - f y y x 0 , y 0 y 0 - f x y x 0 , y 0 x 0 y + f x x x 0 , y 0 2 x 2 + f y y x 0 , y 0 2 y 2 + f x y x 0 , y 0 x y

Ajeitando isso, chegamos a :

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Portanto, essa é a equação do paraboloide que melhor se ajusta a função f x , y nas proximidades de x , y = x 0 , y 0   .

Vamos ver um exemplo:

Fazer a aproximação quadrática da função f x , y = ln ⁡ x y 2